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00:00:05.470 --> 00:00:10.940
大家好，欢迎收看线性代数习题课。

00:00:10.940 --> 00:00:15.065
我们在课堂上学习了矩阵的特征值与特征向量。

00:00:15.065 --> 00:00:19.190
它们一个非常重要的应用在于求解。

00:00:19.190 --> 00:00:25.940
常微分高阶线性方程在所有的线性系数为常数的情况下

00:00:25.940 --> 00:00:29.810
一个典型的例子就是这个方程。

00:00:29.810 --> 00:00:37.280
我们可以看到y是关于t的一个函数，这个方程包含了y

00:00:37.280 --> 00:00:41.560
以及y的一阶二阶和三阶导。

00:00:41.560 --> 00:00:44.740
并且所有的系数均为常数。

00:00:44.740 --> 00:00:49.800
我们首先要用矩阵的方法求解这个方程。

00:00:49.800 --> 00:00:54.670
那么第一步就是应该找到我们应该研究的矩阵A。

00:00:54.670 --> 00:01:00.480
在此之后我们还要试图找到矩阵At

00:01:00.480 --> 00:01:09.830
的系数矩阵的第一列。那么现在 请你暂停这个视频，尝试写出矩阵A。

00:01:09.830 --> 00:01:16.940
但是在你进行下一步之前，请回到这个视频，来确认你找到的矩阵A是正确的。

00:01:16.940 --> 00:01:22.635
我们一会儿再见。

00:01:22.635 --> 00:01:28.330
好，现在我们来一起将这个问题转化成线性代数问题。

00:01:28.330 --> 00:01:33.575
这个关键的点在于

00:01:33.575 --> 00:01:38.820
我们要把y二阶导y一阶导与y放在一起作为一个列向量。

00:01:38.820 --> 00:01:45.450
也就是说我们要考虑这个列向量。

00:01:45.450 --> 00:01:49.090
让我们来叫这个列向量u。

00:01:49.090 --> 00:01:54.510
当然这个列向量也将是关于t的一个函数。

00:01:54.510 --> 00:02:03.050
如果这个是u的话，那么u的导数应该是什么呢？ u的导数将由如下的向量给出。

00:02:03.050 --> 00:02:07.530
y的三阶导y的二阶导

00:02:07.530 --> 00:02:13.330
y的一阶导，这就是u的导数。

00:02:13.330 --> 00:02:18.945
我们要做的就是把u的导数

00:02:18.945 --> 00:02:24.560
写成一个矩阵A乘以u自身的形式。

00:02:24.560 --> 00:02:28.620
也就是说我们要把一个矩阵A放在这里。

00:02:28.620 --> 00:02:36.500
如何找到矩阵A呢？ 我们需要这个方程来找到矩阵A。

00:02:36.500 --> 00:02:46.135
你可以看出如果把这些项移至等号的右侧的话 那么y的三阶导就等于负2乘以y的二阶导

00:02:46.135 --> 00:02:51.070
也就是说y的三阶导等于负2乘以y的二阶导

00:02:51.070 --> 00:02:56.915
加上y的一阶导1乘以y的一阶导

00:02:56.915 --> 00:03:02.760
再加上2倍的y，这样我们就得到了矩阵A的第一行。

00:03:02.760 --> 00:03:12.690
那么对于第二个坐标，y的二阶导就等于 它自身，也就是说第二行应该就为1 0 0。

00:03:12.690 --> 00:03:21.060
第三行同样，y的一阶导也等于 它自身，第三行就应该为0 1 0。

00:03:21.060 --> 00:03:26.420
这就是我们所需要的矩阵A，你的答案正确吗？

00:03:26.420 --> 00:03:33.860
下面我们要解决如下的问题，需要矩阵A的特征值与特征向量。

00:03:33.860 --> 00:03:42.830
这也是一个很好的练习，现在请你暂停这个 视频，尝试独立求解以后的问题。

00:03:42.830 --> 00:03:48.320
当你完成后，可以重新开始这个视频，我将介绍正确的解法。

00:03:55.430 --> 00:04:02.540
好，我们来一起完成如下的问题。

00:04:02.540 --> 00:04:09.180
我有这个矩阵A，下面我需要找到矩阵A的特征值与特征向量。

00:04:09.180 --> 00:04:14.560
要做这一步的话，我们需要考虑如下矩阵的行列式。

00:04:14.560 --> 00:04:21.880
A减去λ乘以单位矩阵。

00:04:21.880 --> 00:04:28.570
如果将这个写出的话，也就是以下的3乘以3矩阵。

00:04:28.570 --> 00:04:34.583
负2减去λ 1 2 1

00:04:34.583 --> 00:04:40.250
负λ 0 0 1 负λ

00:04:40.250 --> 00:04:45.560
你可以用任何一种方法求解这个矩阵的行列式。

00:04:45.560 --> 00:04:51.480
你可以用行列式的定义式，也可以用其中一行或一列的展开。

00:04:51.480 --> 00:05:01.280
如果你的求解正确的话，答案应该为1减去 λ乘以1加上λ再乘以2加上λ。

00:05:01.280 --> 00:05:06.060
显而易见这个多项式有三个根。

00:05:06.060 --> 00:05:11.470
1、负1以及负2，这就是我们所要找的特征值。

00:05:11.470 --> 00:05:14.790
所以第一个特征值为1

00:05:14.790 --> 00:05:22.670
第二个特征值为负1，第三个特征值为负2。

00:05:22.670 --> 00:05:30.370
如何找到它们对应的特征向量呢？ 我们以第一个特征值为例。

00:05:30.370 --> 00:05:39.650
对应于第一个特征值特征向量应该存在于 这个矩阵的零空间中A减去单位向量。

00:05:39.650 --> 00:05:43.530
也就是A减去λ1乘以单位向量。

00:05:43.530 --> 00:05:53.370
我们需要找到一个列向量，使得 这个矩阵乘以这个向量，值为零。

00:05:53.370 --> 00:05:59.994
如果我们展开的话，也就是负3 1

00:05:59.994 --> 00:06:05.882
2 1 负1 0 0 1 负1

00:06:05.882 --> 00:06:12.874
乘以列向量a b c 等于0。如何决定a

00:06:12.874 --> 00:06:19.500
b c呢？如果我们看最后一行的话。

00:06:19.500 --> 00:06:29.250
那么b应该等于c，如果看第二行的话 a应该等于b，如果a等于b等于c同时成立

00:06:29.250 --> 00:06:38.886
那么第一行结果永远是零，所以我们就可以将 第一个特征向量取为1

00:06:38.886 --> 00:06:45.610
1 1，对于第二个和第三个特征值

00:06:45.610 --> 00:06:51.530
你可以用一样的方法，我将省略这里的计算，直接写出答案。

00:06:51.530 --> 00:06:58.080
第二个特征向量可以取为1 负1

00:06:58.080 --> 00:07:02.915
1 第三个特征向量

00:07:02.915 --> 00:07:06.930
可以取为4 负2 正1

00:07:06.930 --> 00:07:13.950
这就是矩阵A的所有特征值与所有特征向量。

00:07:13.950 --> 00:07:19.850
有了这些信息我们就可以写出方程

00:07:19.850 --> 00:07:23.980
u导数等于A乘以u的一般解。

00:07:23.980 --> 00:07:29.990
那么u的一般解将由如下式子给出。

00:07:29.990 --> 00:07:36.740
u的一般解就等于一个常数c1

00:07:36.740 --> 00:07:43.410
乘以e的λ1乘以t次方，那么也就是e的t次方。

00:07:43.410 --> 00:07:53.200
再乘以第一个特征向量x1 加上另外一个常数c2乘以e的λ

00:07:53.200 --> 00:07:59.610
2的t次方，也就是负t次方再乘以第二个特征向量x2

00:07:59.610 --> 00:08:08.090
同理再加上另外一个常数 乘以e的负2t次方再乘以x3

00:08:08.090 --> 00:08:12.630
这就是ut的一般解。

00:08:12.630 --> 00:08:18.060
关于常数c1 c2和c3的选取是任意的。

00:08:18.060 --> 00:08:23.760
那么如何从ut得到y呢？你可以看到

00:08:23.760 --> 00:08:28.920
根据ut的定义y就是ut的最后一个坐标。

00:08:28.920 --> 00:08:34.080
那么这里我们只需要x1 x2和x3的最后一个坐标。

00:08:34.080 --> 00:08:42.590
你可以看到它们都为1，所以 yt的一般解也就由

00:08:42.590 --> 00:08:47.850
常数c1乘以e的t次方加上c2乘以

00:08:47.850 --> 00:08:53.110
e的负t次方加上c3乘以e的负2t次方给出。

00:08:53.110 --> 00:08:58.080
这就是原来常微分方程的一般解。

00:08:58.080 --> 00:09:06.861
好，我们已经完成了问题的第一部分，下面我们将要试图

00:09:06.861 --> 00:09:11.740
寻找到指数矩阵At的第一列。

00:09:11.740 --> 00:09:17.680
我们可以一起来回顾指数矩阵At的公式。

00:09:17.680 --> 00:09:25.990
矩阵指数At将由三个矩阵 的乘积给出，分别记为矩阵S

00:09:25.990 --> 00:09:32.702
乘以矩阵e的大写Λ的t次方 再乘以S的逆矩阵

00:09:32.702 --> 00:09:39.414
那么什么是S，什么是e的Λ的t次方呢？

00:09:39.414 --> 00:09:48.364
S是如下矩阵，S的列全部由原来的 特征向量给出，x1

00:09:48.364 --> 00:09:55.074
x2和x3所以S就为x1 x2 x3

00:09:55.074 --> 00:10:00.827
那么你可以把它写出，也就是1 1

00:10:00.827 --> 00:10:05.938
1 1 负1 1 4 负2 1

00:10:05.938 --> 00:10:15.527
这就是矩阵S，中间这个矩阵就为一个对角阵， 对角线上的元素

00:10:15.527 --> 00:10:23.850
就为e的t次方，e的负t次方和e的负2t次方。

00:10:23.850 --> 00:10:32.467
这里的系数分别对应于你所得到的三个特征值， 好，我们有了矩阵S，

00:10:32.467 --> 00:10:41.845
有了矩阵e的Λ的t次方，我们就可以求解 这个指数矩阵了。所以这个指数矩阵

00:10:41.845 --> 00:10:48.181
就等于S 乘以这个矩阵，再乘以S的逆，你可以看到

00:10:48.181 --> 00:10:54.264
头两个矩阵的乘积较简单，因为这是一个对角阵，

00:10:54.264 --> 00:11:00.601
x的列又由x1，x2，x3列向量给出，

00:11:00.601 --> 00:11:08.712
那么前两个矩阵的乘积就应该为e的t次方乘以x1，e的负t次方

00:11:08.712 --> 00:11:14.288
乘以x2，e的负2t次方乘以x3，

00:11:14.288 --> 00:11:23.413
下面我们需要用这个矩阵再乘以S的逆， 但是因为我们只关注结果的第一列，

00:11:23.413 --> 00:11:33.298
而结果第一列将由这些列的线性组合给出， 线性组合的系数将由S逆的第一列给出，

00:11:33.298 --> 00:11:38.630
所以其实我们只需要找到S逆的第一列即可。

00:11:38.630 --> 00:11:47.626
那么S逆的第一列由什么给出呢？ 我们可以一起来回顾S逆的公式

00:11:47.626 --> 00:11:55.123
S的逆矩阵等于一个常数也就是 1除以S的行列式，

00:11:55.123 --> 00:12:04.420
再乘以矩阵C的转置， 矩阵C的元素由矩阵S的代数余子式给出，

00:12:04.420 --> 00:12:12.220
对它求转置，再除以矩阵S的行列式就得到了S的逆。

00:12:12.220 --> 00:12:16.250
那么我们只需要这个矩阵的第一列。

00:12:16.250 --> 00:12:21.359
同样你可以用任意一种方法求解矩阵S的行列式

00:12:21.359 --> 00:12:28.658
正确结果应该为6，也就是说这里的常数应为6分之1，

00:12:28.658 --> 00:12:37.173
那么矩阵C转置的第一列是什么呢？ 这个位置的元素将由这个位置代数余子式

00:12:37.173 --> 00:12:42.040
给出，也就是负1减去负2为1。

00:12:42.040 --> 00:12:50.896
这个位置的元素，将由这个位置 代数余子式给出，也就是1减去负2为3，

00:12:50.896 --> 00:12:57.710
但是不要忘记这是1，2位置元素，所以应该是负3。

00:12:57.710 --> 00:13:00.630
最后这个位置的元素将由

00:13:00.630 --> 00:13:08.062
这个位置代数余子式给出，也就是1减去负1为2，

00:13:08.062 --> 00:13:13.636
所以这里应该为2。这里需要注意的两点是

00:13:13.636 --> 00:13:18.945
第一不要忘记我们所取的是矩阵C的转置，

00:13:18.945 --> 00:13:27.969
第二不要忘记这里这个系数负1， 好，下面我们把这一列抄到这里，

00:13:27.969 --> 00:13:35.670
也就是6分之1，负2分之1， 和3分之1。

00:13:35.670 --> 00:13:41.230
这就足够我们写出系数矩阵At的第一列了。

00:13:41.230 --> 00:13:49.280
系数矩阵A的第一列， 由这些列的线性组合给出，也就是

00:13:49.280 --> 00:13:56.055
6分之1倍的e的t次方乘以x1，

00:13:56.055 --> 00:14:04.860
减掉2分之一的e的负t次方乘以x2， 再加上3分之1

00:14:04.860 --> 00:14:12.300
的e的负2t次方乘以x3， 这就是我们所要寻找的第一列。

00:14:12.300 --> 00:14:17.840
这就是正确答案，如果你

00:14:17.840 --> 00:14:23.380
希望进行更多练习的话，你可以完成对于矩阵S逆的求解。

00:14:23.380 --> 00:14:27.820
并完成对于系数矩阵At的求解。

00:14:27.820 --> 00:14:32.280
但是我将停在这里，好感谢收看。

00:14:32.280 --> 00:14:36.740
希望下次再见！