大家好，欢迎收看线性代数习题课。
我相信你们已经越来越熟悉矩阵的行列式了。我们在上一节课中，
还学习了矩阵行列式的几何意义，一个矩阵行列式的绝对值
也就是等于该矩阵行向量所张成的平行六面体的体积。
今天我们就要用这个性质来解决如下的例题。
我们要计算一个四面体T的体积。
这个四面体由它的四个顶点，完全决定，
分别是原点，A1、A2和A3，
它们的坐标由这些数字给出。我们首先要计算
T的体积。随后如果A1和A2 不动，但把A3移动到新的一点A3'
A3'的坐标由如下给出，（-201，
-199，104） 我们要重新计算T的体积。
这里我们先来复习一下四面体的体积公式， 一个四面体的体积等于
1/3乘以底面积再乘以高。
你可以选取任何一面作为底面积，那么想对应的顶点就成为高。
这里以方便起见，我们将选择三角形O
A1A2为底面，那么相应的A3就成为顶点。
所以T的体积就由1/3 乘以三角形OA1A2的面积。
这表示它的面积，再乘以高，由字母H表示。
好，我们要用行列式的方法来计算 T的体积。但是我们知道一个矩阵的行列式
是通过一个平行六面体的体积来联系的， 但是现在我们只有一个四面体。所以第一步应该是找到
一个平行六面体，使得T可以和该平行六面体联系起来。
现在请你暂停这个视频，尝试在这个图片上画出平行六面体。
稍后我将回来并介绍我的解法。
我希望你已经成功地找到了那个平行六面体。
我们来观察这个四面体T， 它的四个顶点分别是原点，A1、A2和A3，
观察到这三条边，OA1 OA2和OA3全部相交于原点O，
那么同时这三条边，还可以张成一个平行六面体。
这就是我们所要考虑的平行六面体，我们来看这边的这个图片。
蓝色部分为原来的四面体T，
红色部分为我们要考虑的平行六面体，我记为P，
可以看到这个平行六面体由边OA1、OA2和OA3张成。
它完全包含了原来的四面体T， 下面我们要考虑，
T的体积与P的体积之间的关系。
它们的关系
由如下的式子给出。我们先来考虑T的体积。
正如我们刚才所说的， T的体积等于1/3的底面积乘以高，
底面积由这个三角形OA1A2的面积给出。
高由顶点A3到底面的距离给出。
那么平行六面体P的体积又是什么呢？
平行六面体P的体积由底面积乘以高给出。
乘以高。
同样我们可以选取任何一面作为底面积。
但是这里我们将选取这个平行四边形为底面积。
原因很简单，这个平行四边形包含了 我们所选取的这个四面体的底面积。另外
你可以看到这个平行四边形就是由两倍的这个三角形所构成。
所以底的面积，也就是等于2倍的 三角形OA1A2的面积，
再乘以高，
那么如果选取了这个平行四边形作为底面的话， A3就变成了这个平行六面体的顶点，高就是
A3到这个底面的距离，但这和A3到三角形的距离是一致的。
也就是说这里的高，等于这里的H。
现在你可以比较这两个式子，你可以看得出来，T的体积
也就是等于1/6的P的体积。
我们找到了平行六面体P， 并且我们已把T的体积与P的体积联系起来。
下面我们只需要求P的体积。
根据行列式的几何意义，我们知道P的体积，
也就是等于一个3乘以3矩阵行列式的绝对值。
不要忘记这个绝对值符号。
该矩阵就由这三边作为行向量组成。
那么因为每一边的起点都是原点，所以我们只 需要把这三个顶点的坐标放入矩阵即可。
也就是2、2、-1， 1、3、0，
-1、1、4。
你可以用任意一种方法计算这个3乘以3矩阵的行列式。
所得结果应该为12。
那这就是这个平行六面体P的体积。
回到四面体T，我们知道四面体T的体积就应该等于1/6
这个数值，也就是2。这样我们就得到了四面体T的体积。
下面我们来考虑这个问题的第二部分。
现在我要保证A1和A2不动，
但是我要把原来的顶点A3移动到一个新的顶点A3'，
由（-201、-199、 104）给出。
你可以从这个点的坐标看出，该点离原点非常的远。
我们将无法在这个图片上准确地画出该点，但是你可以想象
这个尖部将变得更为尖锐，也就是说整个四面体看起来像一个针状，
尽管如此，我们还是可以计算它的体积。
通过同样的方法，所以我们
用同样的方法计算T的体积。T的体积，
这个新的四面体，我记为T'。T‘的体积，应该等于1/6
乘以一个矩阵的行列式绝对值。那么现在这个矩阵
前两行是不变的，2、2、-1，1、3、0，
第三行将变为这个新的顶点的坐标，也就是-201、
-199、104，
你可以直接计算这个矩阵的行列式。
如果你的计算没有错误的话，答案还应该是2。
而实际上我并不需要再重复计算该矩阵的行列式，
这个结果可以直接从A3到A3‘的变化中得出。
我们来观察这个新的A3’， 你注意到新的第三行，实际上
等于原来的第三行减去100倍的第一行。
也就是说，新的顶点是 在原来顶点基础上，沿着负的
第一边的方向移动了100倍的第一边。
反应在矩阵中就是这样的，第三行等于原有第三行减去100倍第一行，
但是通过行列式的第五个性质，我们知道这样的变换是不改变行列式的。
也就是说你可以直接得到和以前相同的结果，也就是2。
那么这是一个比较直观的方法来观察矩阵行列式的第五个性质。
反映在图片中是这样的，我们从原来的顶点A3出发，
沿着A1的反方向移动100倍A1， 其实不管‘我们移动的距离有多大，
我们这个移动的轨迹始终是和底面平行的。
也就是说在移动过程中，这个平行六面体的高是并不改变的，平行六面体的底面是固定的，而- 高不改变，这就说明
该平行六面体的体积是不改变的。所以我们同样得到了一样的结果。
好，这就是这道题的答案，我希望通过这个 例题，你可以看出，矩阵行列式不仅仅是一个数值，
它还可以和这样一幅图片相关联。
这在我们计算某些几何图形的体积时，
可以是非常方便的方法，因为通过这种方法，我们就不需要直接计算出高了。
感谢收看，希望下次再见。
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