1
00:00:11,109 --> 00:00:12,400
MARCELO GONZÁLEZ: Hola a todos.

2
00:00:12,400 --> 00:00:16,000
Este es mi video sobre
estructuras cristalinas.

3
00:00:16,000 --> 00:00:18,520
Yo soy Marcelo Alejandro
González Alanís.

4
00:00:18,520 --> 00:00:23,710
Y bueno, todo este documento
hecho en matemática está

5
00:00:23,710 --> 00:00:25,690
escrito en inglés,
pero no se preocupen,

6
00:00:25,690 --> 00:00:29,080
se los voy a explicar
muy bien en español.

7
00:00:29,080 --> 00:00:32,710
Primero que nada, no quiero
que se concentren en el código.

8
00:00:32,710 --> 00:00:37,180
Y por favor, solo concéntrense
en las estructuras.

9
00:00:37,180 --> 00:00:42,130
Primero que nada, aquí podemos
ver lo que es una estructura

10
00:00:42,130 --> 00:00:43,360
cristalina.

11
00:00:43,360 --> 00:00:46,450
Pero antes de enseñárselas, les
quiero explicar dos cosas muy

12
00:00:46,450 --> 00:00:49,000
importantes que tienen que
saber parar las estructuras

13
00:00:49,000 --> 00:00:49,580
cristalinas.

14
00:00:49,580 --> 00:00:52,260
Es, una, ¿qué es una
estructura cristalina?

15
00:00:52,260 --> 00:00:55,310
Una estructura cristalina es
una manera en la que los átomos,

16
00:00:55,310 --> 00:00:58,810
iones o moléculas se
acomodan en 3 dimensiones.

17
00:00:58,810 --> 00:01:02,200
Y otro término muy importante
es lo que es una celda unitaria.

18
00:01:02,200 --> 00:01:06,430
Una celda unitaria es el volumen
más pequeño que hay en un

19
00:01:06,430 --> 00:01:09,880
cristal que tiene
que seguir el patrón.

20
00:01:09,880 --> 00:01:11,980
Mínimo tienen que seguir
el patrón de toda la red

21
00:01:11,980 --> 00:01:13,400
cristalina.

22
00:01:13,400 --> 00:01:18,280
¿Ustedes cuál creen que ser
la celda unitaria en esta red

23
00:01:18,280 --> 00:01:19,320
cristalina?

24
00:01:19,320 --> 00:01:22,150
Pues bueno, claro, la celda
unitaria es la que teníamos al

25
00:01:22,150 --> 00:01:23,560
principio.

26
00:01:23,560 --> 00:01:24,850
Esta es la celda unitaria.

27
00:01:24,850 --> 00:01:31,600
Es la celda unitaria de una
estructura cristalina simple

28
00:01:31,600 --> 00:01:32,320
cúbica.

29
00:01:32,320 --> 00:01:34,880
Es la más simple de todas.

30
00:01:34,880 --> 00:01:39,680
Además de esta, hay otras 6
diferentes que dependen de las

31
00:01:39,680 --> 00:01:41,600
longitudes y los ángulos
que hay entre ellas.

32
00:01:41,600 --> 00:01:45,050
En este caso, los ángulos y las
longitudes son todas iguales.

33
00:01:45,050 --> 00:01:48,920
Ahora que estuvimos hablando
de la celda simple cúbica

34
00:01:48,920 --> 00:01:52,610
cristalina, pues bueno, vamos
a adentrarnos un poco más en

35
00:01:52,610 --> 00:01:53,360
ella.

36
00:01:53,360 --> 00:01:56,220
Como ya han visto, esta es la
celda estructura cristalina,

37
00:01:56,220 --> 00:01:59,270
pero si nos enfocamos
en la celda unitaria,

38
00:01:59,270 --> 00:02:01,090
¿cuántos átomos tiene
está celda unitaria?

39
00:02:01,090 --> 00:02:04,520
En sí, esta celda unitaria tiene
un átomo en total. ¿Por qué?

40
00:02:04,520 --> 00:02:09,139
Porque tiene 8 átomos en todas
las esquinas del cubo y esos 8

41
00:02:09,139 --> 00:02:13,271
átomos tienen un octavo de
su volumen dentro de la celda

42
00:02:13,271 --> 00:02:13,770
unitaria.

43
00:02:13,770 --> 00:02:15,890
Entonces un octavo
por 8 esquinas,

44
00:02:15,890 --> 00:02:18,720
hay un átomo en total.

45
00:02:18,720 --> 00:02:21,150
Además del número de
átomos, otro de los términos

46
00:02:21,150 --> 00:02:24,780
importantes para las estructuras
cristalinas es el número de

47
00:02:24,780 --> 00:02:27,540
coordinación. ¿Qué es el
número de coordinación?

48
00:02:27,540 --> 00:02:32,190
Este es solo el número de
vecinos más cercanos que tiene

49
00:02:32,190 --> 00:02:33,360
cada átomo.

50
00:02:33,360 --> 00:02:36,420
En este caso, en la
celda simple cúbica,

51
00:02:36,420 --> 00:02:38,400
el número de coordinación es 6.

52
00:02:38,400 --> 00:02:41,670
En una simple celda unitaria
no es posible ver el número de

53
00:02:41,670 --> 00:02:44,400
coordinación, entonces lo que
vamos a hacer es vamos a juntar

54
00:02:44,400 --> 00:02:47,150
8 celdas unitarias,
ponerlas todas juntas,

55
00:02:47,150 --> 00:02:50,250
cambiarle los colores para que
sea más fácil para ustedes ver

56
00:02:50,250 --> 00:02:53,430
cuáles son los átomos vecinos
más cercanos a cada uno de los

57
00:02:53,430 --> 00:02:54,990
átomos.

58
00:02:54,990 --> 00:02:57,780
Aquí tenemos el átomo en
rojo que es el que estamos

59
00:02:57,780 --> 00:03:02,130
analizando y sus vecinos
más cercanos son los átomos

60
00:03:02,130 --> 00:03:03,060
amarillos.

61
00:03:03,060 --> 00:03:04,650
Si pueden contar aquí, son 6.

62
00:03:04,650 --> 00:03:06,780
1, 2, 3, 4, 5, 6.

63
00:03:06,780 --> 00:03:10,920
Esos son los átomos más cercanos
que tiene cualquier átomo en

64
00:03:10,920 --> 00:03:13,380
una red cristalina
simple cúbica.

65
00:03:13,380 --> 00:03:17,190
Aún siendo una red
cristalina muy, muy simple,

66
00:03:17,190 --> 00:03:20,190
no hay muchos elementos que
se quieran cristalizar en este

67
00:03:20,190 --> 00:03:21,420
tipo de estructura.

68
00:03:21,420 --> 00:03:25,980
Sólo el elemento alfapolone es
el único que se cristaliza en

69
00:03:25,980 --> 00:03:28,020
una estructura simple cúbica.

70
00:03:28,020 --> 00:03:30,480
Pero bueno, estoy seguro que
ustedes nunca han utilizado

71
00:03:30,480 --> 00:03:34,010
polonio porque el
polonio es radiactivo.

72
00:03:34,010 --> 00:03:37,890
Y además, el hecho de que sea la
única es porque esta estructura

73
00:03:37,890 --> 00:03:40,790
tiene un factor de
empaquetamiento muy pequeño.

74
00:03:40,790 --> 00:03:44,690
Lo que no favorece que los
elementos se cristalicen en

75
00:03:44,690 --> 00:03:47,450
ella porque los elementos,
por lo general los metálicos,

76
00:03:47,450 --> 00:03:49,640
quieren estar mucho más juntos.

77
00:03:49,640 --> 00:03:51,880
Pero ahora lo que te
estarás preguntando es,

78
00:03:51,880 --> 00:03:53,820
¿qué es ese factor
de empaquetamiento?

79
00:03:53,820 --> 00:03:55,820
Pues el factor de
empaquetamiento es simplemente

80
00:03:55,820 --> 00:03:58,520
un valor que nos
dice qué tan juntos,

81
00:03:58,520 --> 00:04:02,840
qué tan cercanos están los
átomos en una celda unitaria.

82
00:04:02,840 --> 00:04:07,090
El factor de empaquetamiento se
puede calcular con una fórmula.

83
00:04:07,090 --> 00:04:09,590
Esa fórmula se la
voy a enseñar ahora.

84
00:04:09,590 --> 00:04:15,810
Que es el volumen que tienen
los átomos en la celda unitaria,

85
00:04:15,810 --> 00:04:18,510
sobre el volumen total
de la celda unitaria.

86
00:04:18,510 --> 00:04:21,720
En este caso lo que yo hice fue
crear una función para obtener

87
00:04:21,720 --> 00:04:25,110
ese factor de empaquetamiento,
utilizando el número de átomos

88
00:04:25,110 --> 00:04:28,871
en la celda unitaria, su
volumen y el volumen de la celda

89
00:04:28,871 --> 00:04:29,370
unitaria.

90
00:04:29,370 --> 00:04:31,850
El volumen de la celda unitaria
en sí, como es un cubo,

91
00:04:31,850 --> 00:04:34,390
es solo su longitud al cubo.

92
00:04:34,390 --> 00:04:35,470
Como lo ven aquí.

93
00:04:35,470 --> 00:04:38,010
Y para calcular el
volumen de los átomos.

94
00:04:38,010 --> 00:04:41,220
Bueno, primero tenemos que
considerar que son esferas.

95
00:04:41,220 --> 00:04:44,040
Considerando que son esferas
es muy fácil saber su volumen,

96
00:04:44,040 --> 00:04:47,700
porque el volumen es 4 tercios
por pi por el radio al cubo.

97
00:04:47,700 --> 00:04:50,310
En este caso, en la
celda simple cúbica,

98
00:04:50,310 --> 00:04:53,520
es muy fácil obtener el radio
porque en una longitud de la

99
00:04:53,520 --> 00:04:55,500
celda unitaria hay 2 átomos.

100
00:04:55,500 --> 00:04:58,860
Entonces si la longitud es
aquí y tenemos 2 átomos,

101
00:04:58,860 --> 00:05:01,190
el radio será la
mitad de la longitud.

102
00:05:01,190 --> 00:05:03,390
Entonces ven cómo
usando la función,

103
00:05:03,390 --> 00:05:05,510
sabiendo que el
número de átomos es 1,

104
00:05:05,510 --> 00:05:07,350
el radio es la mitad
de la longitud,

105
00:05:07,350 --> 00:05:09,770
tenemos un factor de
empaquetamiento de 0.52.

106
00:05:09,770 --> 00:05:12,626
Que es relativamente bajo.

107
00:05:12,626 --> 00:05:15,830
Y bueno, después de hablar de
la estructura cristalina más

108
00:05:15,830 --> 00:05:19,610
simple, vamos a irnos a algo
un poquito más complicado.

109
00:05:19,610 --> 00:05:22,790
Ahora vamos a irnos a una
estructura cristalina que es

110
00:05:22,790 --> 00:05:25,190
llamada la celda
centrada en el cuerpo.

111
00:05:25,190 --> 00:05:27,720
¿Por qué se llama célula
asentada en el cuerpo?

112
00:05:27,720 --> 00:05:30,905
Bueno, como verán aquí
en esta visualización,

113
00:05:30,905 --> 00:05:34,240
es celda centrada en el cuerpo
porque tiene un átomo completo

114
00:05:34,240 --> 00:05:36,280
en medio de toda la celda.

115
00:05:36,280 --> 00:05:39,190
En comparación con el otro,
sigue teniendo los 8 átomos en

116
00:05:39,190 --> 00:05:42,490
todas las esquinas, pero ahora
tenemos un átomo en medio.

117
00:05:42,490 --> 00:05:45,242
Lo que significa que el número
de átomos en la celda es ahora

118
00:05:45,242 --> 00:05:45,850
2.

119
00:05:45,850 --> 00:05:47,980
Tenemos el que está en
medio que está completo.

120
00:05:47,980 --> 00:05:50,380
Tenemos el un octavo
de las 8 esquinas.

121
00:05:50,380 --> 00:05:53,580
Entonces ahora el número de
átomos en la celda unitaria es

122
00:05:53,580 --> 00:05:55,470
2.

123
00:05:55,470 --> 00:05:59,550
Como verán ahora, si hacemos un
poco más pequeña la separación,

124
00:05:59,550 --> 00:06:01,800
ven que está
muchísimo más densa.

125
00:06:01,800 --> 00:06:04,860
Entonces vamos a ver que el
factor de empaquetamiento es

126
00:06:04,860 --> 00:06:07,320
mayor, pero eso lo
vamos a ver después.

127
00:06:07,320 --> 00:06:10,260
El número de coordinación en la
estructura es simple cúbica era

128
00:06:10,260 --> 00:06:12,570
6, ahora es 8.

129
00:06:12,570 --> 00:06:16,230
Vamos a enseñarles eso
para que puedan verlo.

130
00:06:16,230 --> 00:06:17,790
Hicimos lo mismo.

131
00:06:17,790 --> 00:06:19,200
Se hizo lo mismo.

132
00:06:19,200 --> 00:06:22,230
Se pusieron 8 celdas
unitarias en conjunto.

133
00:06:22,230 --> 00:06:26,220
Estamos analizando lo que es
el átomo rojo y vemos cómo los

134
00:06:26,220 --> 00:06:30,690
átomos amarillos son sus átomos
o sus vecinos más cercanos y

135
00:06:30,690 --> 00:06:31,720
son 8.

136
00:06:31,720 --> 00:06:35,520
Entonces ahora que sabemos que
el número de coordinación es 8,

137
00:06:35,520 --> 00:06:37,980
¿cómo creen que va a ser su
factor de empaquetamiento?

138
00:06:37,980 --> 00:06:41,210
Claro que el factor de
empaquetamiento va a ser mayor,

139
00:06:41,210 --> 00:06:43,350
pero bueno.

140
00:06:43,350 --> 00:06:44,790
Para el factor de
empaquetamiento,

141
00:06:44,790 --> 00:06:47,120
ya conocemos la fórmula,
es la fórmula anterior.

142
00:06:47,120 --> 00:06:49,560
Es el volumen de los átomos
entre el volumen de la célula

143
00:06:49,560 --> 00:06:50,430
unitaria.

144
00:06:50,430 --> 00:06:53,190
Ahora, como tenemos
un átomo en medio,

145
00:06:53,190 --> 00:06:55,320
los átomos en las esquinas
en realidad no se tocan.

146
00:06:55,320 --> 00:06:57,930
Entonces no es tan fácil
calcularlo con solo la

147
00:06:57,930 --> 00:06:58,800
longitud.

148
00:06:58,800 --> 00:07:01,470
En este caso tenemos que
usar 3 diferentes átomos,

149
00:07:01,470 --> 00:07:04,770
como ven aquí, el del
medio y 2 de las esquinas.

150
00:07:04,770 --> 00:07:08,580
Si recuerdan anteriormente,
¿cuál es o cómo se calcula la

151
00:07:08,580 --> 00:07:10,150
diagonal interna de un cubo?

152
00:07:10,150 --> 00:07:14,650
La diagonal interna de un cubo
es raíz de 3 veces más larga

153
00:07:14,650 --> 00:07:17,040
que cualquier
longitud de ese cubo.

154
00:07:17,040 --> 00:07:22,110
Entonces como vemos aquí,
tenemos 4 radios de esferas en

155
00:07:22,110 --> 00:07:24,450
esa diagonal interna.

156
00:07:24,450 --> 00:07:27,080
Entonces si tenemos 4 y sabemos
que la diagonal interna es raíz

157
00:07:27,080 --> 00:07:30,360
de 3 veces cualquier
lado del cubo,

158
00:07:30,360 --> 00:07:33,570
pues claro que el radio
sería raíz de 3 veces por esa

159
00:07:33,570 --> 00:07:35,190
longitud del cubo entre 4.

160
00:07:35,190 --> 00:07:36,810
Tenemos 4 radios.

161
00:07:36,810 --> 00:07:39,480
Usamos la misma función para
el factor de empaquetamiento,

162
00:07:39,480 --> 00:07:42,420
sabiendo que ahora
tenemos 2 átomos,

163
00:07:42,420 --> 00:07:45,060
ya conocemos cuál es el radio
y vemos que el factor de

164
00:07:45,060 --> 00:07:47,340
empaquetamiento es 0.68.

165
00:07:47,340 --> 00:07:51,630
Un poco más grande que
el de la celda anterior.

166
00:07:51,630 --> 00:07:55,200
Algunos de los ejemplos de los
elementos que se cristalizan en

167
00:07:55,200 --> 00:08:01,110
una celda central en el cuerpo
son cromio, wolframio, fierro,

168
00:08:01,110 --> 00:08:05,820
tantalio, además de molibdeno.

169
00:08:05,820 --> 00:08:08,610
Ahora que terminamos con la
celda central en el cuerpo,

170
00:08:08,610 --> 00:08:11,140
vamos a irnos todavía un
poquito más complicado,

171
00:08:11,140 --> 00:08:13,340
a la celda central en las caras.

172
00:08:13,340 --> 00:08:17,280
La celda central en las caras en
sí es una de las más comunes en

173
00:08:17,280 --> 00:08:18,330
los metales.

174
00:08:18,330 --> 00:08:20,730
Lo van a poder ver
por los ejemplos.

175
00:08:20,730 --> 00:08:23,010
Como podrán ver
en la estructura,

176
00:08:23,010 --> 00:08:26,620
es una estructura
muchísimo más empaquetada.

177
00:08:26,620 --> 00:08:29,550
Se ve muchísimo más
densa que las otras.

178
00:08:29,550 --> 00:08:32,220
Lo que van a poder ver con
su factor de empaquetamiento

179
00:08:32,220 --> 00:08:33,280
después.

180
00:08:33,280 --> 00:08:36,510
Lo que podemos ver aquí es
que ahora los átomos no están

181
00:08:36,510 --> 00:08:39,900
centrados en el centro, en el
cuerpo de la celda unitaria

182
00:08:39,900 --> 00:08:40,679
sino en las caras.

183
00:08:40,679 --> 00:08:44,850
Como un cubo tiene 6 caras,
los átomos están en la cara,

184
00:08:44,850 --> 00:08:46,030
a la mitad de la cara.

185
00:08:46,030 --> 00:08:49,210
Entonces, ¿cuál es la cantidad
de átomos que hay en este celda

186
00:08:49,210 --> 00:08:49,710
unitaria?

187
00:08:49,710 --> 00:08:51,060
Son 4. ¿Por qué?

188
00:08:51,060 --> 00:08:54,240
Uno, es los 8 que están en las
esquinas que ya hemos contado

189
00:08:54,240 --> 00:08:56,220
en todas las celdas anteriores.

190
00:08:56,220 --> 00:08:58,230
En este caso, como
tenemos 6 caras,

191
00:08:58,230 --> 00:09:00,270
los átomos están en
medio de la cara,

192
00:09:00,270 --> 00:09:03,600
entonces tenemos 6 mitades
de átomos dentro de la celda

193
00:09:03,600 --> 00:09:04,590
unitaria.

194
00:09:04,590 --> 00:09:07,470
6 mitades nos dan 3, 3 más 1, 4.

195
00:09:07,470 --> 00:09:10,605
4 es el número de átomos que
hay en esta hacienda unitaria.

196
00:09:10,605 --> 00:09:12,510
¿Y cuál es tu número
de coordinación?

197
00:09:12,510 --> 00:09:16,220
Claro que como podrán ver, como
está muchísimo más empaquetada,

198
00:09:16,220 --> 00:09:18,900
su número de coordinación es
mucho más grande que antes.

199
00:09:18,900 --> 00:09:21,080
Su número de coordinación es 2.

200
00:09:21,080 --> 00:09:24,690
Y de hecho, si quisiéramos ver
el número de coordinación como

201
00:09:24,690 --> 00:09:28,950
lo habíamos estado viendo, con
8 celdas unitarias juntas es

202
00:09:28,950 --> 00:09:30,240
imposible verlo.

203
00:09:30,240 --> 00:09:33,870
Ni siquiera se puede ver dónde
está la celda o el átomo rojo

204
00:09:33,870 --> 00:09:35,250
que habíamos estado analizando.

205
00:09:35,250 --> 00:09:37,583
Entonces sobre lo que voy a
hacer para que lo puedan ver

206
00:09:37,583 --> 00:09:39,750
ustedes es poner solo 2
celdas unitarias juntas,

207
00:09:39,750 --> 00:09:43,680
una arriba de la otra y van
a poder ver los vecinos más

208
00:09:43,680 --> 00:09:46,780
cercanos de los átomos.

209
00:09:46,780 --> 00:09:48,730
En este caso, decidí
cambiar los colores.

210
00:09:48,730 --> 00:09:52,750
Como pueden ver, el átomo
analizado es el amarillo y los

211
00:09:52,750 --> 00:09:54,490
vecinos más cercanos
son los rojos.

212
00:09:54,490 --> 00:09:56,770
Si los cuentan, son 12.

213
00:09:56,770 --> 00:10:01,180
Finalmente, su factor de
empaquetamiento tampoco es tan

214
00:10:01,180 --> 00:10:04,210
directo como el de la
celda cúbica simple.

215
00:10:04,210 --> 00:10:08,170
En este caso tenemos que
utilizar una cara del cubo.

216
00:10:08,170 --> 00:10:10,270
En esta cara estamos
haciendo el mismo análisis.

217
00:10:10,270 --> 00:10:12,490
Tenemos 2 átomos
en las esquinas,

218
00:10:12,490 --> 00:10:14,100
1 átomo en medio de la cara.

219
00:10:14,100 --> 00:10:17,030
Y como recuerdan, ¿cuál es
la diagonal de un cuadro?

220
00:10:17,030 --> 00:10:21,280
Bueno, la diagonal de un cuadro
es raíz de 2 veces más grande

221
00:10:21,280 --> 00:10:23,530
que cualquier longitud
de ese cuadro.

222
00:10:23,530 --> 00:10:26,680
Entonces utilizando el mismo
concepto anteriormente,

223
00:10:26,680 --> 00:10:28,090
tenemos 3 átomos.

224
00:10:28,090 --> 00:10:30,460
En estos 3 átomos hay 4 radios.

225
00:10:30,460 --> 00:10:32,890
Entonces para calcular el
factor de empaquetamiento,

226
00:10:32,890 --> 00:10:36,520
tenemos 4 átomos, el radio es
raíz de 2 veces la longitud

227
00:10:36,520 --> 00:10:37,470
entre 4.

228
00:10:37,470 --> 00:10:39,130
Son 4 radios.

229
00:10:39,130 --> 00:10:42,180
Eso nos da un factor de
empaquetamiento de 0.74.

230
00:10:42,180 --> 00:10:45,730
0.74 es el factor de
empaquetamiento más grande que

231
00:10:45,730 --> 00:10:49,390
se puede obtener para átomos
en una celda unitaria del mismo

232
00:10:49,390 --> 00:10:50,200
radio.

233
00:10:50,200 --> 00:10:52,570
En este caso, los ejemplos
son muchísimo más comunes,

234
00:10:52,570 --> 00:10:56,670
como aluminio, cobre,
níquel, plata u oro.

235
00:10:56,670 --> 00:10:58,450
Pues bueno, muchísimas
gracias por todo.

236
00:10:58,450 --> 00:11:01,240
Nada más le quería agradecer
a Bianca Eifert y Christian

237
00:11:01,240 --> 00:11:04,510
Heilinger que fueron los
autores del Paquete Cristálica.

238
00:11:04,510 --> 00:11:07,090
Que sin ese paquete este
documento de matemáticas no se

239
00:11:07,090 --> 00:11:08,350
hubiera podido haber hecho.

240
00:11:08,350 --> 00:11:10,660
Si quieren jugar con las
estructuras y visualizaciones

241
00:11:10,660 --> 00:11:14,410
que hice, por favor, mándenme un
correo y con gusto les comparto

242
00:11:14,410 --> 00:11:15,040
el documento.

243
00:11:15,040 --> 00:11:17,010
Muchísimas gracias.