1
00:00:00,000 --> 00:00:03,000
Visualiser la science des matériaux

2
00:00:03,000 --> 00:00:05,000
Vidéo étudiant :
Le transfert de chaleur dans un matériau

3
00:00:05,000 --> 00:00:10,300
Certains contenus de ce vidéo ne sont pas libres
de droits. Consultez le générique pour en savoir plus

4
00:00:10,500 --> 00:00:12,300
Bonjour à tous.
Je m'appelle Morgan Binggeli.

5
00:00:12,300 --> 00:00:14,100
Je suis étudiant en première
année de Master

6
00:00:14,100 --> 00:00:16,100
à l'EPFL en Science et génie des matériaux

7
00:00:16,100 --> 00:00:18,800
et c'est moi qui vais vous présenter
cette vidéo au sujet

8
00:00:18,800 --> 00:00:20,400
du transfert de chaleur dans un matériau.

9
00:00:21,900 --> 00:00:24,300
Cette vidéo va débuter par
une petite introduction

10
00:00:24,300 --> 00:00:26,700
dans laquelle je vais vous donner
quelques définitions utiles

11
00:00:26,700 --> 00:00:29,000
dans le cadre des transferts de chaleur
dans un matériau,

12
00:00:29,500 --> 00:00:33,700
puis elle continuera avec la présentation
des différentes équations de la chaleur.

13
00:00:35,200 --> 00:00:38,700
Par la suite, je vous présenterai
quelques exemples plus ou moins simples,

14
00:00:39,000 --> 00:00:42,000
concrets, sur les transferts de chaleur
dans des matériaux.

15
00:00:42,900 --> 00:00:45,900
Afin de voir de manière adaptée
les exemples qui vont suivre,

16
00:00:45,900 --> 00:00:47,700
il convient de
donner quelques définitions.

17
00:00:48,500 --> 00:00:50,500
Tout d'abord, dans le cadre
de cette vidéo,

18
00:00:50,500 --> 00:00:52,700
la chaleur sera tout simplement
considérée comme étant

19
00:00:52,700 --> 00:00:53,900
une forme de l'énergie.

20
00:00:54,100 --> 00:00:57,300
La température sera, quant à elle,
la manifestation mesurable

21
00:00:57,300 --> 00:01:00,000
de la chaleur stockée dans un matériau
ou dans un corps.

22
00:01:01,300 --> 00:01:04,700
Si l'on met en contact deux corps
ayant des températures différentes,

23
00:01:05,099 --> 00:01:06,700
un transfert de chaleur aura lieu,

24
00:01:06,700 --> 00:01:09,000
transférant la chaleur du corps
le plus chaud

25
00:01:09,000 --> 00:01:10,400
vers le corps le plus froid.

26
00:01:10,800 --> 00:01:13,000
Il existe différents types
de transfert de chaleur.

27
00:01:13,200 --> 00:01:16,300
Tout d'abord, la conduction, qui
correspond à un échange de chaleur

28
00:01:16,300 --> 00:01:19,400
entre deux points d'un solide,
d'un liquide ou d'un gaz

29
00:01:19,400 --> 00:01:20,700
immobile et opaque.

30
00:01:21,300 --> 00:01:23,800
La convection correspond quant à elle à
un échange de chaleur

31
00:01:23,800 --> 00:01:27,200
entre une paroi et un fluide, avec
un transfert de la chaleur

32
00:01:27,200 --> 00:01:28,700
par le fluide en mouvement.

33
00:01:29,500 --> 00:01:32,500
Enfin, le rayonnement correspond à
un échange de chaleur

34
00:01:32,500 --> 00:01:35,200
entre deux parois séparées par
un milieu transparent.

35
00:01:35,500 --> 00:01:38,200
Puisque l'on va parler de transfert
de chaleur dans cette vidéo,

36
00:01:38,400 --> 00:01:40,900
il est important de comprendre
les équations qui régissent

37
00:01:40,900 --> 00:01:41,900
ce genre de phénomène.

38
00:01:42,200 --> 00:01:44,300
Tout d'abord, la loi de conduction
de la chaleur

39
00:01:44,300 --> 00:01:46,300
qui définit le flux diffusif thermique

40
00:01:46,600 --> 00:01:48,700
engendré par un gradient de température.

41
00:01:49,200 --> 00:01:53,200
Le tout, linéairement corrélé par
un coefficient de conduction thermique.

42
00:01:54,600 --> 00:01:56,400
Ensuite, l'équation de la chaleur,

43
00:01:56,400 --> 00:01:58,900
qui comprend un terme dépendant du temps,

44
00:01:59,300 --> 00:02:00,900
un terme dépendant de la vitesse

45
00:02:00,900 --> 00:02:03,700
et qui correspond aux phénomènes
d'advection qui peuvent se passer

46
00:02:03,700 --> 00:02:05,300
dans les petits transferts de chaleur,

47
00:02:06,300 --> 00:02:09,699
un terme comprenant la divergence
du flux diffusif thermique,

48
00:02:09,990 --> 00:02:13,300
et finalement un terme source
correspondant le plus souvent

49
00:02:13,300 --> 00:02:17,000
aux réactions chimiques, qu'elles soient
endothermiques ou exothermiques.

50
00:02:17,600 --> 00:02:19,700
En combinant
les deux équations précédentes,

51
00:02:19,700 --> 00:02:22,800
on obtient une équation régissant
les phénomènes de chaleur,

52
00:02:22,800 --> 00:02:23,800
qui est la suivante.

53
00:02:25,400 --> 00:02:27,300
Nous allons maintenant
appliquer ces équations

54
00:02:27,300 --> 00:02:30,000
à quelques exemples
d'applications plutôt concrètes.

55
00:02:30,600 --> 00:02:33,500
Comme premier exemple, nous prenons
le cas d'un mur simple,

56
00:02:33,800 --> 00:02:36,500
d'épaisseur e, dans
un état thermique stable,

57
00:02:36,900 --> 00:02:41,300
c'est à dire un état stationnaire et où
la vitesse est égale à 0.

58
00:02:42,000 --> 00:02:44,400
On suppose également qu'aucun
terme source de chaleur

59
00:02:44,400 --> 00:02:46,500
dû à une quelconque réaction thermique
est présent.

60
00:02:47,500 --> 00:02:49,500
Ce mur est considéré comme mince

61
00:02:49,500 --> 00:02:52,300
avec un flux de chaleur
unidirectionnel selon x.

62
00:02:53,800 --> 00:02:56,500
Les températures des deux côtes
du mur sont différentes

63
00:02:57,100 --> 00:03:00,200
avec T1 plus petit que T2.

64
00:03:01,000 --> 00:03:04,100
On cherche à déterminer le profil
de température dans ce mur.

65
00:03:05,700 --> 00:03:09,100
Pour ce problème, il est adapté d'utiliser
les coordonnées cartésiennes.

66
00:03:09,700 --> 00:03:12,300
La température ne change que selon
la direction x

67
00:03:12,700 --> 00:03:15,300
et on peut s'attendre à voir
une distribution de la température

68
00:03:15,300 --> 00:03:17,100
homogène dans les autres directions.

69
00:03:17,600 --> 00:03:20,700
Les conditions de ce problème permettent
de simplifier l'équation de la chaleur

70
00:03:20,700 --> 00:03:21,900
présentée auparavant

71
00:03:23,000 --> 00:03:24,100
de la manière suivante.

72
00:03:25,600 --> 00:03:31,100
On pose comme condition limite que
la température en x=0 vaut T1,

73
00:03:32,100 --> 00:03:33,100
ici,

74
00:03:33,400 --> 00:03:37,600
et la température en x=e vaut T2, ici.

75
00:03:39,100 --> 00:03:41,600
Maintenant que le système d'équations
a été défini,

76
00:03:41,800 --> 00:03:43,800
on peut le poser et tenter de le résoudre.

77
00:03:44,500 --> 00:03:48,300
Tout d'abord, on définit le système
d'équations et ses conditions limites,

78
00:03:50,700 --> 00:03:53,400
puis on va essayer de résoudre
l'équation différentielle.

79
00:03:56,500 --> 00:03:58,000
La solution est la suivante.

80
00:04:01,000 --> 00:04:04,000
On remarque que cette solution est
valable pour une certaine valeur e,

81
00:04:04,000 --> 00:04:06,600
c'est à dire pour une certaine
épaisseur du mur.

82
00:04:07,300 --> 00:04:09,300
Afin d'avoir une solution plus générale,

83
00:04:09,500 --> 00:04:12,000
ne dépendant pas
d'une épaisseur quelconque d'un mur,

84
00:04:12,500 --> 00:04:14,100
un changement de variable est effectué.

85
00:04:14,700 --> 00:04:18,899
La température n'est plus en fonction
d'uniquement x, comme c'est le cas ici,

86
00:04:19,399 --> 00:04:22,900
mais du rapport x/e, qui varie donc
entre 0 et 1.

87
00:04:23,100 --> 00:04:28,400
C'est à dire entre le début du mur à 0
et la fin du mur à e/e c'est à dire 1.

88
00:04:29,800 --> 00:04:31,700
On pose le nouveau système d'équations

89
00:04:32,700 --> 00:04:34,100
et on tente de le résoudre.

90
00:04:35,000 --> 00:04:36,800
La solution a l'allure suivante.

91
00:04:38,300 --> 00:04:40,800
En changeant la disposition de l'équation,
on peut voir que

92
00:04:40,800 --> 00:04:42,800
l'équation est de la forme suivante.

93
00:04:44,800 --> 00:04:46,800
On peut tenter de
généraliser cette expression

94
00:04:46,800 --> 00:04:49,400
à l'ensemble des cas en effectuant
les transformations suivantes.

95
00:04:52,900 --> 00:04:56,700
Ainsi, on se retrouve avec une solution
ne dépendant que de x/e.

96
00:04:56,900 --> 00:05:00,500
Ainsi, le profil de la température pour
ce cas a l'allure suivante.

97
00:05:01,100 --> 00:05:03,500
On remarque que c'est une courbe
linéaire selon x

98
00:05:03,900 --> 00:05:08,500
partant de T1 et arrivant à T2
du début à la fin du mur.

99
00:05:09,300 --> 00:05:11,700
On peut visualiser la solution
de manière plus claire

100
00:05:12,300 --> 00:05:15,400
en regardant comment la température
est répartie dans le mur.

101
00:05:16,600 --> 00:05:19,900
Ainsi, la température est répartie
de la manière suivante dans le mur.

102
00:05:20,600 --> 00:05:22,900
On voit bien que le dégradé est linéaire,

103
00:05:23,200 --> 00:05:27,200
avec le côté le plus chaud de ce côté,
et le côté le plus froid ici,

104
00:05:27,600 --> 00:05:29,500
à T1, et ici à T2.

105
00:05:30,200 --> 00:05:32,600
C'en est tout pour cet exemple
d'un mur de maison.

106
00:05:33,700 --> 00:05:36,600
On passe maintenant au cas d'un mur
qui vient d'être construit.

107
00:05:37,500 --> 00:05:40,800
Dans ce deuxième exemple, on prend
un mur de béton d'épaisseur e

108
00:05:40,800 --> 00:05:44,200
en train de durcir grâce à
une réaction chimique exothermique.

109
00:05:44,600 --> 00:05:48,300
Il s'agit dans ce cas d'un phénomène
tel que l'hydratation du béton.

110
00:05:49,300 --> 00:05:51,100
On suppose que
les deux surfaces extérieures

111
00:05:51,100 --> 00:05:53,600
sont gardées à la même température, Tw

112
00:05:56,000 --> 00:05:59,000
et on suppose également que nous sommes
dans un cas stationnaire

113
00:05:59,000 --> 00:06:00,600
et que le béton est immobile.

114
00:06:01,400 --> 00:06:05,000
Pour ce problème, il parait adapté
d'utiliser les coordonnées cartésiennes.

115
00:06:05,500 --> 00:06:08,300
La température ne change que selon
la direction x

116
00:06:08,600 --> 00:06:11,100
et on peut s'attendre à voir
une distribution de la température

117
00:06:11,100 --> 00:06:12,600
homogène dans les autres directions.

118
00:06:14,000 --> 00:06:17,200
Les conditions de ce problème permettent
de simplifier l'équation de la chaleur

119
00:06:17,200 --> 00:06:20,100
présentée auparavant, qui devient ceci.

120
00:06:21,300 --> 00:06:24,500
On pose les conditions de limite
définies auparavant, c'est à dire

121
00:06:24,500 --> 00:06:28,300
que la température en 0 et en e
est égale à Tw.

122
00:06:29,000 --> 00:06:32,000
Le système d'équations ainsi posé
est le suivant,

123
00:06:32,900 --> 00:06:34,800
et on peut le résoudre
de la manière suivante.

124
00:06:36,200 --> 00:06:38,400
De la même manière que pour
le problème précédent,

125
00:06:38,400 --> 00:06:40,400
on peut essayer d'obtenir
une réponse générale

126
00:06:40,600 --> 00:06:42,400
utilisable dans un grand nombre de cas.

127
00:06:43,500 --> 00:06:46,800
Ainsi, on effectue le même changement
de variable qu'auparavant

128
00:06:46,990 --> 00:06:51,700
en supposant que la température ne varie
plus seulement uniquement en fonction de x

129
00:06:51,990 --> 00:06:53,700
mais en fonction de x/e.

130
00:06:54,000 --> 00:06:57,000
Et donc que le rapport x/e
varie entre 0 et 1

131
00:06:57,000 --> 00:06:58,500
pour les mêmes raisons qu'auparavant.

132
00:06:59,100 --> 00:07:01,400
Ce système est défini
de la manière suivante

133
00:07:01,600 --> 00:07:05,200
et on peut le résoudre afin d'avoir
la réponse suivante.

134
00:07:06,700 --> 00:07:09,900
Afin d'adimensionnaliser le résultat,
on peut passer tous les termes

135
00:07:09,900 --> 00:07:13,200
ne dépendant pas du rapport x/e
de l'autre côté de l'équation.

136
00:07:17,100 --> 00:07:19,200
Cela nous donne la solution suivante.

137
00:07:21,000 --> 00:07:24,300
Ainsi, le profil de température pour
ce cas a l'allure suivante.

138
00:07:25,000 --> 00:07:27,300
On remarque bien une certaine symétrie
dans la réponse

139
00:07:27,300 --> 00:07:30,000
avec un maximum de chaleur au centre
de la pièce

140
00:07:30,000 --> 00:07:31,700
là où la température est la plus élevée,

141
00:07:32,100 --> 00:07:34,200
et un minimum dans les façades
de la pièce,

142
00:07:34,500 --> 00:07:36,900
là où la température vaut Tw.

143
00:07:37,900 --> 00:07:40,900
On peut également voir la répartition
de la température dans le mur,

144
00:07:41,500 --> 00:07:44,400
où on voit bien que la température est
la plus élevée au centre du mur

145
00:07:44,600 --> 00:07:48,100
et la plus faible à Tw sur
les façades du mur.

146
00:07:50,100 --> 00:07:53,500
Comme troisième exemple, on prend le cas
d'un traitement thermique en continu.

147
00:07:54,100 --> 00:07:57,100
Pour cet exemple, on considère
une fine barre d'acier

148
00:07:57,100 --> 00:07:59,800
effectuant un procédé de
traitement thermique en continu.

149
00:08:00,500 --> 00:08:03,300
La barre est en effet extraite
à la vitesse v

150
00:08:04,100 --> 00:08:07,000
d'un four chauffé à une température T0

151
00:08:08,000 --> 00:08:12,000
puis est trempée après une distance L
dans un bain d'eau

152
00:08:12,000 --> 00:08:14,000
maintenu à une température TL.

153
00:08:15,200 --> 00:08:18,000
On cherche à déterminer le profil
de température dans la barre

154
00:08:18,300 --> 00:08:21,200
entre la sortie du four et
l'entrée du bain

155
00:08:21,300 --> 00:08:23,400
lorsqu'un régime stationnaire est établi.

156
00:08:23,900 --> 00:08:27,500
Pour ce problème, il est adapté
d'utiliser des coordonnées cartésiennes.

157
00:08:27,900 --> 00:08:31,100
La barre étant fine, on suppose que
la température est uniforme

158
00:08:31,100 --> 00:08:33,100
dans une section transversale de la barre,

159
00:08:33,400 --> 00:08:37,200
c'est à dire que le champ de température T
ne dépend que de la position x.

160
00:08:37,799 --> 00:08:40,900
Les conditions de ce problème permettent
de simplifier l'équation de la chaleur

161
00:08:40,900 --> 00:08:44,000
présentée auparavant de la manière à
n'avoir plus que cette équation-ci.

162
00:08:45,100 --> 00:08:48,300
On pose comme condition limite
le fait que, en 0,

163
00:08:48,600 --> 00:08:53,900
la température vaille T0, et en L
la température vaille TL.

164
00:08:54,500 --> 00:08:56,900
Ainsi, on pose
le système d'équations suivant

165
00:08:57,400 --> 00:08:58,900
et on le résout.

166
00:08:59,200 --> 00:09:00,900
La solution a l'allure suivante,

167
00:09:01,600 --> 00:09:02,900
qui parait quelque peu complexe.

168
00:09:03,900 --> 00:09:06,500
Cependant, on peut simplifier ce résultat

169
00:09:06,900 --> 00:09:11,100
en sachant que le facteur ρCp/k
est égal à 1/α,

170
00:09:11,500 --> 00:09:15,600
où α est le coefficient de
diffusivité thermique du matériau.

171
00:09:16,900 --> 00:09:19,100
Ainsi, notre solution a l'allure suivante.

172
00:09:21,800 --> 00:09:24,200
On peut encore simplifier la lecture
de cette équation

173
00:09:24,200 --> 00:09:26,000
en la réécrivant de cette manière.

174
00:09:26,400 --> 00:09:28,900
De la même manière que pour
les exemples précédents,

175
00:09:28,900 --> 00:09:30,900
on cherche à donner une réponse générale.

176
00:09:31,100 --> 00:09:33,900
Dans cet exemple, celle-ci
a la forme suivante.

177
00:09:40,000 --> 00:09:42,400
On retrouve ici la solution trouvée auparavant

178
00:09:42,800 --> 00:09:47,000
Il faut savoir que le rapport vL/α est
en réalité un nombre adimensionnel,

179
00:09:47,000 --> 00:09:48,500
le nombre de Peclet.

180
00:09:48,900 --> 00:09:50,300
Celui-ci définit le rapport entre

181
00:09:50,300 --> 00:09:52,900
les phénomènes d'advection
et de diffusion d'un procédé.

182
00:09:53,700 --> 00:09:56,300
On peut ainsi le remplacer
dans la relation précédente.

183
00:09:58,200 --> 00:10:01,200
Ici, on le remplace au dénominateur,

184
00:10:02,200 --> 00:10:04,500
et ici, au numérateur.

185
00:10:07,500 --> 00:10:11,200
Finalement, de la même manière que cela a
été réalisé pour les exemples précédents,

186
00:10:11,400 --> 00:10:13,100
on effectue un léger
changement de variable

187
00:10:13,100 --> 00:10:16,100
on repasse en x/L
par la variable x/L.

188
00:10:19,800 --> 00:10:21,300
On peut essayer de comprendre

189
00:10:21,300 --> 00:10:23,800
le fonctionnement du nombre
adimensionnel de Peclet

190
00:10:23,990 --> 00:10:27,500
en faisant varier le profil de
la température en fonction de sa valeur.

191
00:10:28,500 --> 00:10:29,800
Voici le résultat.

192
00:10:29,800 --> 00:10:33,400
Pour un nombre de Peclet faible, lorsque
le nombre de Peclet augmente,

193
00:10:33,800 --> 00:10:36,500
on remarque que la courbe a tendance
à se creuser.

194
00:10:41,300 --> 00:10:44,000
Cela est peut-être encore plus visible
lorsqu'on essaye de tracer

195
00:10:44,000 --> 00:10:46,000
le profil de la température
dans cette barre

196
00:10:46,200 --> 00:10:48,000
pour plusieurs nombres de Peclet

197
00:10:48,000 --> 00:10:51,100
et d'avoir le résultat pour ces
différents nombres en même temps.

198
00:10:51,900 --> 00:10:54,100
Ainsi, on définit une liste
de nombres de Peclet

199
00:10:56,500 --> 00:10:59,000
auxquels on applique la solution
trouvée auparavant

200
00:10:59,700 --> 00:11:02,300
et ainsi, le graphique a
l'allure suivante.

201
00:11:03,200 --> 00:11:06,400
Voici l'allure du graphique pour
les différents nombres de Peclet

202
00:11:06,400 --> 00:11:11,100
avec en bleu le plus faible et,
pour la courbe la plus creusée en brun ici

203
00:11:11,700 --> 00:11:13,100
un nombre de Peclet égal à 100.

204
00:11:14,900 --> 00:11:18,200
Finalement, on peut encore représenter
ce résultat dans un mur

205
00:11:18,200 --> 00:11:20,200
en laissant un nombre de Peclet variable.

206
00:11:23,600 --> 00:11:26,400
On voit que, comme auparavant, si
le nombre de Peclet est faible,

207
00:11:26,600 --> 00:11:29,500
on a un résultat qui ressemble plutôt
à un résultat linéaire

208
00:11:29,700 --> 00:11:32,100
avec le maximum en L et le minimum

209
00:11:34,100 --> 00:11:35,100
en 0.

210
00:11:36,100 --> 00:11:38,100
Et que lorsqu'on augmente,

211
00:11:40,000 --> 00:11:43,100
le résultat n'est plus du tout linéaire
et l'augmentation de température

212
00:11:43,100 --> 00:11:45,000
se fait au plus proche de cette façade.

213
00:11:45,500 --> 00:11:47,500
Voilà, c'en est tout pour cette vidéo.

214
00:11:47,700 --> 00:11:51,500
Vous trouvez ici en bas les références
qui m'ont aidé à la réaliser,

215
00:11:51,500 --> 00:11:53,300
et je vous remercie pour votre attention.