1
00:00:10,583 --> 00:00:13,054
Sie haben wahrscheinlich schon alle
von der Quanten [??] gehört

2
00:00:13,054 --> 00:00:15,217
und den Problemen, die es gibt.

3
00:00:15,217 --> 00:00:18,157
Von dem Problem vor allem
und bestehenden Phänomen,

4
00:00:18,157 --> 00:00:18,873
die sie beschreibt.

5
00:00:19,504 --> 00:00:21,521
Zum Beispiel wissen wir,
das Quantenobjekte,

6
00:00:21,521 --> 00:00:25,503
wie Elektronen, durch Wände,
durch Potenzialbarrieren gehen können.

7
00:00:26,416 --> 00:00:28,573
Katzen hingegen können nicht tunneln.

8
00:00:30,992 --> 00:00:33,700
Im Folgenden möchte ich
einen Algorithmus vorstellen,

9
00:00:33,700 --> 00:00:38,028
der uns erlaubt, diese Phänomene,
diese Zeitentwicklung von Phänomenen

10
00:00:38,028 --> 00:00:40,093
zu beschreiben.

11
00:00:40,093 --> 00:00:44,227
Das ist nämlich das Split
Operator Fourier Transform Algorithmus.

12
00:00:44,900 --> 00:00:47,793
Ich mache das mit der Zeitentwicklung,

13
00:00:47,793 --> 00:00:49,978
besonders von quantenmechanischen Objekten,

14
00:00:49,978 --> 00:00:53,479
auch für Materialwissenschaftler
von Bedeutung ist,

15
00:00:53,479 --> 00:00:55,454
wenn Sie, zum Beispiel,
Spektroskopie betreiben wollen.

16
00:00:56,150 --> 00:00:58,719
Aber auch, wenn man im Laufe

17
00:00:58,719 --> 00:01:01,960
von dieser Haltung dieses Algorithmus

18
00:01:01,960 --> 00:01:03,767
und auch beim Anwendungsalgorithmus,

19
00:01:03,767 --> 00:01:06,843
viele Konzepte sehen kann,
die immer wiederkehrend sind

20
00:01:06,843 --> 00:01:08,354
in der computational chemistry.

21
00:01:08,354 --> 00:01:10,245
Das heißt, wie ich einen Algorithmus herleite.

22
00:01:10,846 --> 00:01:12,798
Wir werden auch gleich erfahren,
wie ich das nutze,

23
00:01:12,798 --> 00:01:16,351
um monocular Algorithmen herzuleiten,

24
00:01:16,351 --> 00:01:17,896
zum Beispiel, Velocity Valley.

25
00:01:18,535 --> 00:01:20,728
Und ich werde auch zeigen,
wie man einen Algorithmus

26
00:01:20,728 --> 00:01:21,657
überwachen kann.

27
00:01:22,348 --> 00:01:25,789
Und wie man die Lümerik
ein bisschen beeinflussen kann

28
00:01:25,789 --> 00:01:29,695
und dabei auch die Quanten...
die heisenbergsche Unschärferelation ???

29
00:01:29,695 --> 00:01:32,354
und in Form des Tunneleffekts.

30
00:01:32,898 --> 00:01:35,996
Und wir starten unsere Reise
bei dem Fundament,

31
00:01:35,996 --> 00:01:37,580
der Schrödingergleichung.

32
00:01:37,580 --> 00:01:38,443
Die sieht aus wie folgt:

33
00:01:38,443 --> 00:01:41,257
Das sagt, wenn ich meinen Zustand ableite

34
00:01:41,257 --> 00:01:44,384
nach der Zeit, ist es das gleiche,
wenn ich ein Hamilton

35
00:01:44,384 --> 00:01:45,618
auf meinen Zustand anwende.

36
00:01:46,375 --> 00:01:47,707
Und wenn ich das dann integriere,

37
00:01:47,707 --> 00:01:50,351
für ein Hamilton, das nicht
von der Zeit abhängt,

38
00:01:50,351 --> 00:01:52,576
komme ich bei dieser Gleichung heraus.

39
00:01:52,576 --> 00:01:56,095
Die besagt, wenn ich diese
Exponentialfunktion

40
00:01:56,095 --> 00:01:59,586
mit meinem Hamilton mit drin
auf meinem Zustand

41
00:01:59,586 --> 00:02:01,866
beim Zeitpunkt t gleich 0 anwende,

42
00:02:01,866 --> 00:02:04,818
komme ich an Zeitpunkt t wieder raus.

43
00:02:05,206 --> 00:02:08,759
Das heißt, das ist ein Propagator
unserer Wellenfunktion

44
00:02:08,759 --> 00:02:13,517
von Zeitpunkt t gleich 0,
zum Zeitpunkt t propagiert.

45
00:02:14,362 --> 00:02:17,553
Der Hamilton, der hier drin steigt,
hat zwei verschiedene Teile.

46
00:02:17,553 --> 00:02:20,273
Falls Sie es nicht schon wissen,
nämlich ein kinetischen Teil

47
00:02:20,273 --> 00:02:21,532
und einen potenziellen Teil.

48
00:02:22,160 --> 00:02:27,327
Kinetischer Impuls hängt
mit Potenzial zusammen,

49
00:02:27,327 --> 00:02:29,701
das wir auf das System werfen.

50
00:02:29,701 --> 00:02:32,461
Zum Beispiel, könnten wir,
eine Katze auf eine Rutsche setzen.

51
00:02:33,065 --> 00:02:35,190
Dann dieses Potenzial,
hier könnten wir auch

52
00:02:35,190 --> 00:02:38,667
ein harmonisches Potenzial anlegen,
was eine Parabel, zum Beispiel, ist.

53
00:02:39,769 --> 00:02:43,953
Wir nutzen jetzt dieses Wissen,
um unseren Algorithmus herzuleiten

54
00:02:43,953 --> 00:02:47,671
und fangen zunächst an unseren Algorithmen,
unseren Propagator umzuschreiben.

55
00:02:48,801 --> 00:02:50,851
Wir machen das, indem wir uns überlegen,

56
00:02:50,851 --> 00:02:54,976
dass es egal ist, ob wir,
oder, das egal sein könnte,

57
00:02:54,976 --> 00:02:57,536
ob wir unsere Katze in einen großen Schritt

58
00:02:57,536 --> 00:03:01,061
für Zeitpunkt t rechnen

59
00:03:01,061 --> 00:03:02,195
oder, ob wir das
in kleinen Schritten machen.

60
00:03:02,195 --> 00:03:05,009
Das heißt, wir könnten uns vorstellen,
dass wir unsere Katze

61
00:03:05,009 --> 00:03:10,736
in kleinen Schritten, langsam
zum Zeitpunkt t anstoßen.

62
00:03:11,783 --> 00:03:15,016
Das schreiben wir wie folgt,
das heißt, wir machen hier

63
00:03:15,016 --> 00:03:19,515
im Prinzip N-Mal hintereinander
Schritte der Größe Epsilon.

64
00:03:21,103 --> 00:03:23,605
Jetzt kann man sich überlegen,
hilft uns das was?

65
00:03:24,264 --> 00:03:25,609
Die Antwort ist leider nein.

66
00:03:25,609 --> 00:03:27,895
Es hilft uns kein bisschen weiter,
da wir immer noch nicht wissen,

67
00:03:27,895 --> 00:03:30,167
wie wir das hier ausrechnen sollen
im Allgemeinfall.

68
00:03:30,588 --> 00:03:34,770
Man könnte sich überlegen, ob es hilft,
das Problem aufzuteilen.

69
00:03:34,770 --> 00:03:37,871
Das heißt, wir schauen uns
zunächst Potenzial an,

70
00:03:37,871 --> 00:03:38,899
dann den Puls.

71
00:03:39,454 --> 00:03:43,670
Allerdings würde man zu einer
solchen Schreibweise vielleicht

72
00:03:43,670 --> 00:03:44,336
kommen wollen.

73
00:03:44,336 --> 00:03:48,656
Allerdings ist diese nicht
im Allgemeinen zulässig,

74
00:03:48,656 --> 00:03:52,135
da der Operator nicht
im Allgemeinen kumuliert

75
00:03:52,135 --> 00:03:55,817
und das heißt, wir können nicht
es wieder herrollen,

76
00:03:55,817 --> 00:03:59,144
in welcher Reihenfolge wir diese
zwei Operatoren anwenden.

77
00:04:00,321 --> 00:04:03,180
Allerdings kommen wir
um dieses Problem herum,

78
00:04:03,180 --> 00:04:07,334
wenn wir Trotters Wissen anwenden
und Trotters Wissen sagt uns,

79
00:04:07,334 --> 00:04:12,387
okay, wenn wir jetzt einen Operator,
zum Beispiel, wie folgt schreibt:

80
00:04:12,387 --> 00:04:15,625
Wir haben unseren Propagator,
wir haben hier unser Potenzial H2,

81
00:04:15,625 --> 00:04:17,589
propagiert nur einen
halben Zeitschritt lang,

82
00:04:17,589 --> 00:04:21,268
denn hier ist Potenzial wieder
einen halben Zeitschritt propagiert

83
00:04:21,268 --> 00:04:23,941
und hier unser Kinetik-Teil.

84
00:04:23,941 --> 00:04:29,188
Wenn wir das einfach N-Mal machen
und dabei N gegen Unendlich gehen lassen.

85
00:04:29,188 --> 00:04:31,286
Das heißt, unendlich
kleine Zeitschritte nehmen,

86
00:04:31,286 --> 00:04:33,793
ist das Ganze exakt.

87
00:04:34,336 --> 00:04:36,291
Jetzt sind wir im Prinzip schon am Ziel.

88
00:04:36,978 --> 00:04:40,288
Wir müssen das Ganze nur
ein bisschen weniger abstrakt machen.

89
00:04:40,288 --> 00:04:44,880
Wir machen das, indem wir unseren Zustand
auf die Koordinatenbasis projizieren.

90
00:04:44,880 --> 00:04:48,736
Das heißt, wir wollen unseren Zustand
in der Koordinatenbasis darstellen können.

91
00:04:48,736 --> 00:04:51,548
Das machen wir, indem wir einfach
unsere ursprüngliche Schreibweise,

92
00:04:51,548 --> 00:04:56,574
Propagator auf Psi 0 angewandt,

93
00:04:56,574 --> 00:04:59,575
hier dann auf ein xt projizieren

94
00:04:59,575 --> 00:05:02,285
und, wenn wir dann
ein bisschen Algebra machen,

95
00:05:02,285 --> 00:05:03,680
kommen wir zu dieser Formel hier,

96
00:05:03,680 --> 00:05:06,048
die unser Kern ist.

97
00:05:06,048 --> 00:05:10,961
Nämlich, das wir hier im Prinzip
die Schreibweise wiederfinden,

98
00:05:10,961 --> 00:05:12,208
die wir auch hier oben haben.

99
00:05:12,208 --> 00:05:15,947
Ich propagiere mein Potenzial
einen halben Schritt,

100
00:05:15,947 --> 00:05:19,363
dann propagiere ich meinen Impuls
einen ganzen Schritt

101
00:05:19,363 --> 00:05:20,957
und meine Kinetik einen ganzen Schritt,

102
00:05:20,957 --> 00:05:23,610
dann propagiere ich mein Potenzial
wieder einen halben Schritt.

103
00:05:24,254 --> 00:05:27,819
Das interessante ist aber,
was diese Teilchen machen.

104
00:05:28,530 --> 00:05:33,268
Die sagen mir nämlich, dass ich
hier in der Ortsdarstellung starte.

105
00:05:33,268 --> 00:05:34,848
Das habe ich ja hier da stehen.

106
00:05:34,848 --> 00:05:38,867
Wenn ich psi auf x0 projeziere,

107
00:05:38,867 --> 00:05:41,881
komme ich bei psi x0
bei dem Zeitpunkt t=0 raus.

108
00:05:41,881 --> 00:05:46,702
Das propagiere ich jetzt im Potenzial

109
00:05:46,702 --> 00:05:49,497
und mache dann eine Fourier-Transformation

110
00:05:49,497 --> 00:05:51,659
in einen Impulsraum.

111
00:05:51,659 --> 00:05:56,582
In einem Impulsraum kann ich dann
einfach meinen Kinetik-Teil ausrechnen,

112
00:05:56,582 --> 00:05:59,365
hier steht ja ein p drin,
und wenn ich das gemacht habe,

113
00:05:59,365 --> 00:06:01,286
kann ich wieder in meinen
Ortsraum projizieren,

114
00:06:01,286 --> 00:06:04,647
wo ich wieder einfach
mein Potenzial ausrechnen kann.

115
00:06:04,647 --> 00:06:06,649
Wo ich ein x drinstehen habe.

116
00:06:07,472 --> 00:06:09,069
Das ist der Kern des Algorithmus,

117
00:06:09,864 --> 00:06:11,212
der wie folgt aussieht:

118
00:06:13,422 --> 00:06:16,431
Ich starte mit meinem Objekt
in der Ortsdarstellung,

119
00:06:18,037 --> 00:06:23,246
nutze ein Gitter, da ich ja nicht
eine kontinuierliche Variable

120
00:06:23,246 --> 00:06:24,350
propagieren kann.

121
00:06:24,350 --> 00:06:26,593
Das spielt ja auch eine Rolle

122
00:06:26,820 --> 00:06:28,102
in einer Diskussion.

123
00:06:28,102 --> 00:06:30,756
Dann propagiere ich es in den Impuls,

124
00:06:30,756 --> 00:06:36,509
transformiere es in einen Impulsraum,

125
00:06:36,509 --> 00:06:39,830
der nicht so bekannt ist,
wie zum Beispiel, der Ortsraum.

126
00:06:39,830 --> 00:06:41,909
Wir könnten uns vorstellen,
dass die Katze blau ist

127
00:06:41,909 --> 00:06:42,995
in einem Impulsraum.

128
00:06:42,995 --> 00:06:45,748
Wenn wir eine Darstellung dafür
haben wollen, propagieren dann

129
00:06:45,748 --> 00:06:50,841
unsere Kinetik, transformieren
zurück in den Ortsraum

130
00:06:50,841 --> 00:06:53,925
und können dann wieder einen
halben Schritt im Potenzial gehen.

131
00:06:55,236 --> 00:06:56,978
Machen wir das Ganze mal
im echten Beispiel.

132
00:06:57,689 --> 00:06:59,840
Zum Beispiel an freien Teilchen.

133
00:06:59,840 --> 00:07:03,417
Wir wenden also kein Potenzial an,
sondern schauen ein Wellenpaket an

134
00:07:03,417 --> 00:07:06,145
und schauen uns an, wie es
sich mit der Zeit entwickelt.

135
00:07:06,145 --> 00:07:08,068
Das mache ich hier für zwei Beispiele.

136
00:07:09,378 --> 00:07:11,395
Nämlich für die zwei verschiedenen Massen.

137
00:07:13,213 --> 00:07:16,049
Und was wir hier sehen,
ist, das obere Beispiel,

138
00:07:16,049 --> 00:07:21,141
was das leichtere Teilchen ist,
versucht, sich im Raum auszubreiten.

139
00:07:21,729 --> 00:07:24,758
Wohingegen das schwerere
Teilchen lokalisiert bleibt.

140
00:07:25,190 --> 00:07:29,205
Man kann darin eine Allegorie
zur Unschärferelation sehen.

141
00:07:29,975 --> 00:07:34,503
Nämlich, dass wir bei
klassischen, schweren Teilchen

142
00:07:34,503 --> 00:07:38,356
nicht mit einer Diakosierung [??]
kämpfen müssen.

143
00:07:38,356 --> 00:07:41,429
Wohingegen, wenn wir
Quantenexperimente machen,

144
00:07:41,429 --> 00:07:42,985
schon damit kämpfen müssen.

145
00:07:44,375 --> 00:07:46,919
Wenn wir jetzt das Teilchen
noch schwerer machen würden,

146
00:07:46,919 --> 00:07:48,549
ich nehme mal eine
Massendifferenz von 100,

147
00:07:48,549 --> 00:07:52,302
wäre der Effekt natürlich
noch viel ausgeprägter.

148
00:07:52,302 --> 00:07:55,533
Wir werden am Ende, hier oben,
überall im Raum die gleiche

149
00:07:55,533 --> 00:07:57,241
Wahrscheinlichkeit haben,
das Teilchen zu finden.

150
00:07:57,241 --> 00:08:00,238
Wohingegen es unendlich
viel länger dauern wird,

151
00:08:00,238 --> 00:08:02,438
das im anderen Fall zu sehen.

152
00:08:04,428 --> 00:08:05,995
Machen wir das ganze
ein bisschen komplexer.

153
00:08:05,995 --> 00:08:07,878
Wir wenden hier eine Potenzialbarriere an.

154
00:08:07,878 --> 00:08:10,584
Wir haben in beiden Fällen
hier nämlich eine Wand

155
00:08:10,584 --> 00:08:13,868
und wir haben ein Wellenpaket
mit zwei verschiedenen Höhen

156
00:08:13,868 --> 00:08:16,608
an der Wand und schauen
uns an, was passiert.

157
00:08:18,550 --> 00:08:20,742
In beiden Fällen propagieren
wir jetzt unser Wellenpaket

158
00:08:20,742 --> 00:08:22,155
und dann kommt es an die Wand

159
00:08:22,155 --> 00:08:24,688
und in dem einen Fall,
oben, wird es reflektiert

160
00:08:24,688 --> 00:08:26,972
und in dem anderen Fall,
unten, geht es einfach durch.

161
00:08:27,857 --> 00:08:35,355
Und das ist der Fall, da unsere Wand,
im ersten Fall Millionen-mal höher ist,

162
00:08:35,355 --> 00:08:39,296
als im zweiten Fall und dabei
sehen wir, dass der Tunneleffekt

163
00:08:39,296 --> 00:08:41,683
auf der Höhe der Potenzialbarriere abhängt.

164
00:08:41,683 --> 00:08:45,548
Das heißt, auch ein Quantenobjekt kann
durch beliebig hohe Wände durchtunneln.

165
00:08:46,496 --> 00:08:49,033
Und was wir jetzt eigentlich
hier sehen, sind Interferenzeffekte,

166
00:08:49,033 --> 00:08:51,148
wo ich dann Wellenpakete sehe,
die sich dann aufgespaltet haben

167
00:08:51,733 --> 00:08:55,544
hier treffen und dann irgendwann
ihr Interferenzmuster bilden.

168
00:08:56,837 --> 00:08:58,463
Machen wir das noch etwas komplexer.

169
00:08:59,387 --> 00:09:03,302
Lassen Sie uns
zu zwei Potenzialbarrieren gehen.

170
00:09:04,546 --> 00:09:07,361
Auch hier starten wir wieder
mit einem Wellenpaket

171
00:09:08,157 --> 00:09:11,195
und schauen uns an,
wie es sich entwickelt.

172
00:09:12,162 --> 00:09:15,911
Hier spaltet es sich auf
und dann trifft es eine Wand.

173
00:09:16,889 --> 00:09:20,176
Hier zunächst die rechte,
wird dann teilweise reflektiert

174
00:09:20,176 --> 00:09:22,015
und teilweise kann es durchgehen.

175
00:09:23,106 --> 00:09:26,377
Genauso an der linken Wand,
da beide Barrieren gleich hoch sind.

176
00:09:27,907 --> 00:09:30,722
Und dann werden wir wieder
Interferenzeffekte sehen können.

177
00:09:34,815 --> 00:09:37,227
Allerdings sehen wir auch hier,
dass die Energie ein bisschen

178
00:09:37,227 --> 00:09:39,928
verrückt spielt, sodass man sich fragen
könnte, können wir es besser machen?

179
00:09:40,566 --> 00:09:45,561
Ein erster Versuch wäre,
dass der [??].

180
00:09:45,561 --> 00:09:47,523
Das heißt, wir gehen kleinere Schritte

181
00:09:47,523 --> 00:09:49,575
in unserer Zeitentwicklung.

182
00:09:52,347 --> 00:09:53,445
Man kann das machen.

183
00:09:53,445 --> 00:09:55,211
Hier habe ich es für 0,05 gemacht

184
00:09:55,211 --> 00:09:57,018
und einmal 0,005.

185
00:09:57,018 --> 00:10:01,654
Das eine dauert 4 Minuten das auszurechnen,
für dieses eindimensionale Beispiel.

186
00:10:01,654 --> 00:10:05,933
Das andere schon 1,9 Stunden
und wir sehen

187
00:10:05,933 --> 00:10:08,513
viel Aufwand überhalb bringt nichts.

188
00:10:08,513 --> 00:10:12,589
Der ursprüngliche Zeitschritt
war schon gut genug für das Problem.

189
00:10:13,421 --> 00:10:15,584
Dann die nächste Stellschraube.

190
00:10:15,584 --> 00:10:20,892
Wir könnten ja ein Gitter machen,
indem das etwas feiner ist.

191
00:10:20,892 --> 00:10:23,077
Das muss man jetzt
schon über Nacht rechnen.

192
00:10:24,661 --> 00:10:27,084
Da das fine grid schon
so viele Punkte hat,

193
00:10:27,084 --> 00:10:31,349
dass da unmöglich wird,
das einfach mal kurz zu rechnen.

194
00:10:31,349 --> 00:10:35,065
Und vergleichen wir das mal
mit unserer ursprünglichen Simulation.

195
00:10:35,065 --> 00:10:37,292
Wir schauen einfach mal,
wie dann die Energie ist,

196
00:10:37,292 --> 00:10:40,556
wenn wir am gleichen Zeitpunkt ankommen,
der hier, mit grauen Balken markiert ist.

197
00:10:40,556 --> 00:10:43,570
Und das ist ungefähr jetzt der Fall.

198
00:10:43,570 --> 00:10:48,296
Und wir sehen, dass wir hier
dann doch deutlich bessere Energie,

199
00:10:48,296 --> 00:10:50,235
als im ursprünglichen Beispiel haben.

200
00:10:50,235 --> 00:10:53,187
Das heißt, wahrscheinlich könnten wir
hier mit einem besseren Gitter

201
00:10:53,187 --> 00:10:54,870
deutlich weiter kommen.

202
00:10:55,389 --> 00:10:57,563
Man kann es in der Praxis auch so machen.

203
00:10:57,563 --> 00:11:02,509
In der Praxis kann man auch,
zum Beispiel, adaptive Gitter anwenden,

204
00:11:02,509 --> 00:11:04,901
die in manchen Gebieten feiner sind
als in anderen Gebieten,

205
00:11:04,901 --> 00:11:11,460
um da ein bisschen das [??]
von der Rechenleistung her.

206
00:11:11,460 --> 00:11:14,285
Wir sehen auch hier, dass wir
schnell an eine Barriere kommen,

207
00:11:14,285 --> 00:11:16,046
wo wir es nicht mehr ausrechnen können.

208
00:11:16,046 --> 00:11:18,283
Das wäre noch ein anderes Beispiel.

209
00:11:18,283 --> 00:11:21,087
Was Sie jetzt gesehen haben
in diesem Video, ist,

210
00:11:21,087 --> 00:11:23,690
wie wir einen Algorithmus
herleiten können,

211
00:11:23,690 --> 00:11:27,069
wo wir genau wissen,
wo wir die Näherung einführen.

212
00:11:27,069 --> 00:11:30,440
Das war nämlich die Trotter-Näherung
und man kann dabei auch herleiten,

213
00:11:30,440 --> 00:11:31,682
wie groß der Fourier ist.

214
00:11:32,479 --> 00:11:35,865
Und wir können diese Trotter-Näherung,
dann auch im späteren Beispiel verwenden,

215
00:11:35,865 --> 00:11:38,661
um zum Beispiel, [??] herzuleiten.

216
00:11:38,661 --> 00:11:42,415
Wir haben dadurch dann
auch die Unschärferelation

217
00:11:42,415 --> 00:11:45,006
uns ein bisschen anschauen können,
wir haben uns den Tunneleffekt

218
00:11:45,006 --> 00:11:45,885
anschauen können

219
00:11:46,575 --> 00:11:49,548
und wir haben gesehen, wie wir
die Konvergenz bewerten können,

220
00:11:49,548 --> 00:11:51,931
nämlich durch Normalisierung
und Energieerhaltung

221
00:11:52,846 --> 00:11:55,996
und wir haben am Ende auch gesehen,
welchen Effekt die Gittergröße

222
00:11:56,759 --> 00:11:57,980
und Zeitschritte haben.

223
00:11:58,671 --> 00:12:01,899
Hier haben wir ein schönes Beispiel
vom Zeitschritt, wenn das

224
00:12:01,899 --> 00:12:05,205
für eine einzige Potenzialbarriere ist.

225
00:12:05,205 --> 00:12:10,407
Wir haben es auch für
ein [??] von 0,005

226
00:12:10,407 --> 00:12:15,408
gegen 0,001 gemacht und wir sehen,
dass der kleine Zeitschritt

227
00:12:15,408 --> 00:12:18,783
deutlich bessere
Energieerhaltung zeigt,

228
00:12:18,783 --> 00:12:20,548
als der große Zeitschritt.

229
00:12:20,608 --> 00:12:23,543
Ich hoffe, ich konnte jetzt hier
einen kleinen Einblick

230
00:12:23,543 --> 00:12:28,428
in die Quantendynamik geben
und wie man Zeitentwicklungen

231
00:12:28,428 --> 00:12:30,644
berechnen könnte, wie man
Algorithmen entwickelt

232
00:12:30,644 --> 00:12:33,693
und wie man auch damit
Phänomene besser verstehen kann.