1 00:00:10,583 --> 00:00:13,054 Sie haben wahrscheinlich schon alle von der Quanten [??] gehört 2 00:00:13,054 --> 00:00:15,217 und den Problemen, die es gibt. 3 00:00:15,217 --> 00:00:18,157 Von dem Problem vor allem und bestehenden Phänomen, 4 00:00:18,157 --> 00:00:18,873 die sie beschreibt. 5 00:00:19,504 --> 00:00:21,521 Zum Beispiel wissen wir, das Quantenobjekte, 6 00:00:21,521 --> 00:00:25,503 wie Elektronen, durch Wände, durch Potenzialbarrieren gehen können. 7 00:00:26,416 --> 00:00:28,573 Katzen hingegen können nicht tunneln. 8 00:00:30,992 --> 00:00:33,700 Im Folgenden möchte ich einen Algorithmus vorstellen, 9 00:00:33,700 --> 00:00:38,028 der uns erlaubt, diese Phänomene, diese Zeitentwicklung von Phänomenen 10 00:00:38,028 --> 00:00:40,093 zu beschreiben. 11 00:00:40,093 --> 00:00:44,227 Das ist nämlich das Split Operator Fourier Transform Algorithmus. 12 00:00:44,900 --> 00:00:47,793 Ich mache das mit der Zeitentwicklung, 13 00:00:47,793 --> 00:00:49,978 besonders von quantenmechanischen Objekten, 14 00:00:49,978 --> 00:00:53,479 auch für Materialwissenschaftler von Bedeutung ist, 15 00:00:53,479 --> 00:00:55,454 wenn Sie, zum Beispiel, Spektroskopie betreiben wollen. 16 00:00:56,150 --> 00:00:58,719 Aber auch, wenn man im Laufe 17 00:00:58,719 --> 00:01:01,960 von dieser Haltung dieses Algorithmus 18 00:01:01,960 --> 00:01:03,767 und auch beim Anwendungsalgorithmus, 19 00:01:03,767 --> 00:01:06,843 viele Konzepte sehen kann, die immer wiederkehrend sind 20 00:01:06,843 --> 00:01:08,354 in der computational chemistry. 21 00:01:08,354 --> 00:01:10,245 Das heißt, wie ich einen Algorithmus herleite. 22 00:01:10,846 --> 00:01:12,798 Wir werden auch gleich erfahren, wie ich das nutze, 23 00:01:12,798 --> 00:01:16,351 um monocular Algorithmen herzuleiten, 24 00:01:16,351 --> 00:01:17,896 zum Beispiel, Velocity Valley. 25 00:01:18,535 --> 00:01:20,728 Und ich werde auch zeigen, wie man einen Algorithmus 26 00:01:20,728 --> 00:01:21,657 überwachen kann. 27 00:01:22,348 --> 00:01:25,789 Und wie man die Lümerik ein bisschen beeinflussen kann 28 00:01:25,789 --> 00:01:29,695 und dabei auch die Quanten... die heisenbergsche Unschärferelation ??? 29 00:01:29,695 --> 00:01:32,354 und in Form des Tunneleffekts. 30 00:01:32,898 --> 00:01:35,996 Und wir starten unsere Reise bei dem Fundament, 31 00:01:35,996 --> 00:01:37,580 der Schrödingergleichung. 32 00:01:37,580 --> 00:01:38,443 Die sieht aus wie folgt: 33 00:01:38,443 --> 00:01:41,257 Das sagt, wenn ich meinen Zustand ableite 34 00:01:41,257 --> 00:01:44,384 nach der Zeit, ist es das gleiche, wenn ich ein Hamilton 35 00:01:44,384 --> 00:01:45,618 auf meinen Zustand anwende. 36 00:01:46,375 --> 00:01:47,707 Und wenn ich das dann integriere, 37 00:01:47,707 --> 00:01:50,351 für ein Hamilton, das nicht von der Zeit abhängt, 38 00:01:50,351 --> 00:01:52,576 komme ich bei dieser Gleichung heraus. 39 00:01:52,576 --> 00:01:56,095 Die besagt, wenn ich diese Exponentialfunktion 40 00:01:56,095 --> 00:01:59,586 mit meinem Hamilton mit drin auf meinem Zustand 41 00:01:59,586 --> 00:02:01,866 beim Zeitpunkt t gleich 0 anwende, 42 00:02:01,866 --> 00:02:04,818 komme ich an Zeitpunkt t wieder raus. 43 00:02:05,206 --> 00:02:08,759 Das heißt, das ist ein Propagator unserer Wellenfunktion 44 00:02:08,759 --> 00:02:13,517 von Zeitpunkt t gleich 0, zum Zeitpunkt t propagiert. 45 00:02:14,362 --> 00:02:17,553 Der Hamilton, der hier drin steigt, hat zwei verschiedene Teile. 46 00:02:17,553 --> 00:02:20,273 Falls Sie es nicht schon wissen, nämlich ein kinetischen Teil 47 00:02:20,273 --> 00:02:21,532 und einen potenziellen Teil. 48 00:02:22,160 --> 00:02:27,327 Kinetischer Impuls hängt mit Potenzial zusammen, 49 00:02:27,327 --> 00:02:29,701 das wir auf das System werfen. 50 00:02:29,701 --> 00:02:32,461 Zum Beispiel, könnten wir, eine Katze auf eine Rutsche setzen. 51 00:02:33,065 --> 00:02:35,190 Dann dieses Potenzial, hier könnten wir auch 52 00:02:35,190 --> 00:02:38,667 ein harmonisches Potenzial anlegen, was eine Parabel, zum Beispiel, ist. 53 00:02:39,769 --> 00:02:43,953 Wir nutzen jetzt dieses Wissen, um unseren Algorithmus herzuleiten 54 00:02:43,953 --> 00:02:47,671 und fangen zunächst an unseren Algorithmen, unseren Propagator umzuschreiben. 55 00:02:48,801 --> 00:02:50,851 Wir machen das, indem wir uns überlegen, 56 00:02:50,851 --> 00:02:54,976 dass es egal ist, ob wir, oder, das egal sein könnte, 57 00:02:54,976 --> 00:02:57,536 ob wir unsere Katze in einen großen Schritt 58 00:02:57,536 --> 00:03:01,061 für Zeitpunkt t rechnen 59 00:03:01,061 --> 00:03:02,195 oder, ob wir das in kleinen Schritten machen. 60 00:03:02,195 --> 00:03:05,009 Das heißt, wir könnten uns vorstellen, dass wir unsere Katze 61 00:03:05,009 --> 00:03:10,736 in kleinen Schritten, langsam zum Zeitpunkt t anstoßen. 62 00:03:11,783 --> 00:03:15,016 Das schreiben wir wie folgt, das heißt, wir machen hier 63 00:03:15,016 --> 00:03:19,515 im Prinzip N-Mal hintereinander Schritte der Größe Epsilon. 64 00:03:21,103 --> 00:03:23,605 Jetzt kann man sich überlegen, hilft uns das was? 65 00:03:24,264 --> 00:03:25,609 Die Antwort ist leider nein. 66 00:03:25,609 --> 00:03:27,895 Es hilft uns kein bisschen weiter, da wir immer noch nicht wissen, 67 00:03:27,895 --> 00:03:30,167 wie wir das hier ausrechnen sollen im Allgemeinfall. 68 00:03:30,588 --> 00:03:34,770 Man könnte sich überlegen, ob es hilft, das Problem aufzuteilen. 69 00:03:34,770 --> 00:03:37,871 Das heißt, wir schauen uns zunächst Potenzial an, 70 00:03:37,871 --> 00:03:38,899 dann den Puls. 71 00:03:39,454 --> 00:03:43,670 Allerdings würde man zu einer solchen Schreibweise vielleicht 72 00:03:43,670 --> 00:03:44,336 kommen wollen. 73 00:03:44,336 --> 00:03:48,656 Allerdings ist diese nicht im Allgemeinen zulässig, 74 00:03:48,656 --> 00:03:52,135 da der Operator nicht im Allgemeinen kumuliert 75 00:03:52,135 --> 00:03:55,817 und das heißt, wir können nicht es wieder herrollen, 76 00:03:55,817 --> 00:03:59,144 in welcher Reihenfolge wir diese zwei Operatoren anwenden. 77 00:04:00,321 --> 00:04:03,180 Allerdings kommen wir um dieses Problem herum, 78 00:04:03,180 --> 00:04:07,334 wenn wir Trotters Wissen anwenden und Trotters Wissen sagt uns, 79 00:04:07,334 --> 00:04:12,387 okay, wenn wir jetzt einen Operator, zum Beispiel, wie folgt schreibt: 80 00:04:12,387 --> 00:04:15,625 Wir haben unseren Propagator, wir haben hier unser Potenzial H2, 81 00:04:15,625 --> 00:04:17,589 propagiert nur einen halben Zeitschritt lang, 82 00:04:17,589 --> 00:04:21,268 denn hier ist Potenzial wieder einen halben Zeitschritt propagiert 83 00:04:21,268 --> 00:04:23,941 und hier unser Kinetik-Teil. 84 00:04:23,941 --> 00:04:29,188 Wenn wir das einfach N-Mal machen und dabei N gegen Unendlich gehen lassen. 85 00:04:29,188 --> 00:04:31,286 Das heißt, unendlich kleine Zeitschritte nehmen, 86 00:04:31,286 --> 00:04:33,793 ist das Ganze exakt. 87 00:04:34,336 --> 00:04:36,291 Jetzt sind wir im Prinzip schon am Ziel. 88 00:04:36,978 --> 00:04:40,288 Wir müssen das Ganze nur ein bisschen weniger abstrakt machen. 89 00:04:40,288 --> 00:04:44,880 Wir machen das, indem wir unseren Zustand auf die Koordinatenbasis projizieren. 90 00:04:44,880 --> 00:04:48,736 Das heißt, wir wollen unseren Zustand in der Koordinatenbasis darstellen können. 91 00:04:48,736 --> 00:04:51,548 Das machen wir, indem wir einfach unsere ursprüngliche Schreibweise, 92 00:04:51,548 --> 00:04:56,574 Propagator auf Psi 0 angewandt, 93 00:04:56,574 --> 00:04:59,575 hier dann auf ein xt projizieren 94 00:04:59,575 --> 00:05:02,285 und, wenn wir dann ein bisschen Algebra machen, 95 00:05:02,285 --> 00:05:03,680 kommen wir zu dieser Formel hier, 96 00:05:03,680 --> 00:05:06,048 die unser Kern ist. 97 00:05:06,048 --> 00:05:10,961 Nämlich, das wir hier im Prinzip die Schreibweise wiederfinden, 98 00:05:10,961 --> 00:05:12,208 die wir auch hier oben haben. 99 00:05:12,208 --> 00:05:15,947 Ich propagiere mein Potenzial einen halben Schritt, 100 00:05:15,947 --> 00:05:19,363 dann propagiere ich meinen Impuls einen ganzen Schritt 101 00:05:19,363 --> 00:05:20,957 und meine Kinetik einen ganzen Schritt, 102 00:05:20,957 --> 00:05:23,610 dann propagiere ich mein Potenzial wieder einen halben Schritt. 103 00:05:24,254 --> 00:05:27,819 Das interessante ist aber, was diese Teilchen machen. 104 00:05:28,530 --> 00:05:33,268 Die sagen mir nämlich, dass ich hier in der Ortsdarstellung starte. 105 00:05:33,268 --> 00:05:34,848 Das habe ich ja hier da stehen. 106 00:05:34,848 --> 00:05:38,867 Wenn ich psi auf x0 projeziere, 107 00:05:38,867 --> 00:05:41,881 komme ich bei psi x0 bei dem Zeitpunkt t=0 raus. 108 00:05:41,881 --> 00:05:46,702 Das propagiere ich jetzt im Potenzial 109 00:05:46,702 --> 00:05:49,497 und mache dann eine Fourier-Transformation 110 00:05:49,497 --> 00:05:51,659 in einen Impulsraum. 111 00:05:51,659 --> 00:05:56,582 In einem Impulsraum kann ich dann einfach meinen Kinetik-Teil ausrechnen, 112 00:05:56,582 --> 00:05:59,365 hier steht ja ein p drin, und wenn ich das gemacht habe, 113 00:05:59,365 --> 00:06:01,286 kann ich wieder in meinen Ortsraum projizieren, 114 00:06:01,286 --> 00:06:04,647 wo ich wieder einfach mein Potenzial ausrechnen kann. 115 00:06:04,647 --> 00:06:06,649 Wo ich ein x drinstehen habe. 116 00:06:07,472 --> 00:06:09,069 Das ist der Kern des Algorithmus, 117 00:06:09,864 --> 00:06:11,212 der wie folgt aussieht: 118 00:06:13,422 --> 00:06:16,431 Ich starte mit meinem Objekt in der Ortsdarstellung, 119 00:06:18,037 --> 00:06:23,246 nutze ein Gitter, da ich ja nicht eine kontinuierliche Variable 120 00:06:23,246 --> 00:06:24,350 propagieren kann. 121 00:06:24,350 --> 00:06:26,593 Das spielt ja auch eine Rolle 122 00:06:26,820 --> 00:06:28,102 in einer Diskussion. 123 00:06:28,102 --> 00:06:30,756 Dann propagiere ich es in den Impuls, 124 00:06:30,756 --> 00:06:36,509 transformiere es in einen Impulsraum, 125 00:06:36,509 --> 00:06:39,830 der nicht so bekannt ist, wie zum Beispiel, der Ortsraum. 126 00:06:39,830 --> 00:06:41,909 Wir könnten uns vorstellen, dass die Katze blau ist 127 00:06:41,909 --> 00:06:42,995 in einem Impulsraum. 128 00:06:42,995 --> 00:06:45,748 Wenn wir eine Darstellung dafür haben wollen, propagieren dann 129 00:06:45,748 --> 00:06:50,841 unsere Kinetik, transformieren zurück in den Ortsraum 130 00:06:50,841 --> 00:06:53,925 und können dann wieder einen halben Schritt im Potenzial gehen. 131 00:06:55,236 --> 00:06:56,978 Machen wir das Ganze mal im echten Beispiel. 132 00:06:57,689 --> 00:06:59,840 Zum Beispiel an freien Teilchen. 133 00:06:59,840 --> 00:07:03,417 Wir wenden also kein Potenzial an, sondern schauen ein Wellenpaket an 134 00:07:03,417 --> 00:07:06,145 und schauen uns an, wie es sich mit der Zeit entwickelt. 135 00:07:06,145 --> 00:07:08,068 Das mache ich hier für zwei Beispiele. 136 00:07:09,378 --> 00:07:11,395 Nämlich für die zwei verschiedenen Massen. 137 00:07:13,213 --> 00:07:16,049 Und was wir hier sehen, ist, das obere Beispiel, 138 00:07:16,049 --> 00:07:21,141 was das leichtere Teilchen ist, versucht, sich im Raum auszubreiten. 139 00:07:21,729 --> 00:07:24,758 Wohingegen das schwerere Teilchen lokalisiert bleibt. 140 00:07:25,190 --> 00:07:29,205 Man kann darin eine Allegorie zur Unschärferelation sehen. 141 00:07:29,975 --> 00:07:34,503 Nämlich, dass wir bei klassischen, schweren Teilchen 142 00:07:34,503 --> 00:07:38,356 nicht mit einer Diakosierung [??] kämpfen müssen. 143 00:07:38,356 --> 00:07:41,429 Wohingegen, wenn wir Quantenexperimente machen, 144 00:07:41,429 --> 00:07:42,985 schon damit kämpfen müssen. 145 00:07:44,375 --> 00:07:46,919 Wenn wir jetzt das Teilchen noch schwerer machen würden, 146 00:07:46,919 --> 00:07:48,549 ich nehme mal eine Massendifferenz von 100, 147 00:07:48,549 --> 00:07:52,302 wäre der Effekt natürlich noch viel ausgeprägter. 148 00:07:52,302 --> 00:07:55,533 Wir werden am Ende, hier oben, überall im Raum die gleiche 149 00:07:55,533 --> 00:07:57,241 Wahrscheinlichkeit haben, das Teilchen zu finden. 150 00:07:57,241 --> 00:08:00,238 Wohingegen es unendlich viel länger dauern wird, 151 00:08:00,238 --> 00:08:02,438 das im anderen Fall zu sehen. 152 00:08:04,428 --> 00:08:05,995 Machen wir das ganze ein bisschen komplexer. 153 00:08:05,995 --> 00:08:07,878 Wir wenden hier eine Potenzialbarriere an. 154 00:08:07,878 --> 00:08:10,584 Wir haben in beiden Fällen hier nämlich eine Wand 155 00:08:10,584 --> 00:08:13,868 und wir haben ein Wellenpaket mit zwei verschiedenen Höhen 156 00:08:13,868 --> 00:08:16,608 an der Wand und schauen uns an, was passiert. 157 00:08:18,550 --> 00:08:20,742 In beiden Fällen propagieren wir jetzt unser Wellenpaket 158 00:08:20,742 --> 00:08:22,155 und dann kommt es an die Wand 159 00:08:22,155 --> 00:08:24,688 und in dem einen Fall, oben, wird es reflektiert 160 00:08:24,688 --> 00:08:26,972 und in dem anderen Fall, unten, geht es einfach durch. 161 00:08:27,857 --> 00:08:35,355 Und das ist der Fall, da unsere Wand, im ersten Fall Millionen-mal höher ist, 162 00:08:35,355 --> 00:08:39,296 als im zweiten Fall und dabei sehen wir, dass der Tunneleffekt 163 00:08:39,296 --> 00:08:41,683 auf der Höhe der Potenzialbarriere abhängt. 164 00:08:41,683 --> 00:08:45,548 Das heißt, auch ein Quantenobjekt kann durch beliebig hohe Wände durchtunneln. 165 00:08:46,496 --> 00:08:49,033 Und was wir jetzt eigentlich hier sehen, sind Interferenzeffekte, 166 00:08:49,033 --> 00:08:51,148 wo ich dann Wellenpakete sehe, die sich dann aufgespaltet haben 167 00:08:51,733 --> 00:08:55,544 hier treffen und dann irgendwann ihr Interferenzmuster bilden. 168 00:08:56,837 --> 00:08:58,463 Machen wir das noch etwas komplexer. 169 00:08:59,387 --> 00:09:03,302 Lassen Sie uns zu zwei Potenzialbarrieren gehen. 170 00:09:04,546 --> 00:09:07,361 Auch hier starten wir wieder mit einem Wellenpaket 171 00:09:08,157 --> 00:09:11,195 und schauen uns an, wie es sich entwickelt. 172 00:09:12,162 --> 00:09:15,911 Hier spaltet es sich auf und dann trifft es eine Wand. 173 00:09:16,889 --> 00:09:20,176 Hier zunächst die rechte, wird dann teilweise reflektiert 174 00:09:20,176 --> 00:09:22,015 und teilweise kann es durchgehen. 175 00:09:23,106 --> 00:09:26,377 Genauso an der linken Wand, da beide Barrieren gleich hoch sind. 176 00:09:27,907 --> 00:09:30,722 Und dann werden wir wieder Interferenzeffekte sehen können. 177 00:09:34,815 --> 00:09:37,227 Allerdings sehen wir auch hier, dass die Energie ein bisschen 178 00:09:37,227 --> 00:09:39,928 verrückt spielt, sodass man sich fragen könnte, können wir es besser machen? 179 00:09:40,566 --> 00:09:45,561 Ein erster Versuch wäre, dass der [??]. 180 00:09:45,561 --> 00:09:47,523 Das heißt, wir gehen kleinere Schritte 181 00:09:47,523 --> 00:09:49,575 in unserer Zeitentwicklung. 182 00:09:52,347 --> 00:09:53,445 Man kann das machen. 183 00:09:53,445 --> 00:09:55,211 Hier habe ich es für 0,05 gemacht 184 00:09:55,211 --> 00:09:57,018 und einmal 0,005. 185 00:09:57,018 --> 00:10:01,654 Das eine dauert 4 Minuten das auszurechnen, für dieses eindimensionale Beispiel. 186 00:10:01,654 --> 00:10:05,933 Das andere schon 1,9 Stunden und wir sehen 187 00:10:05,933 --> 00:10:08,513 viel Aufwand überhalb bringt nichts. 188 00:10:08,513 --> 00:10:12,589 Der ursprüngliche Zeitschritt war schon gut genug für das Problem. 189 00:10:13,421 --> 00:10:15,584 Dann die nächste Stellschraube. 190 00:10:15,584 --> 00:10:20,892 Wir könnten ja ein Gitter machen, indem das etwas feiner ist. 191 00:10:20,892 --> 00:10:23,077 Das muss man jetzt schon über Nacht rechnen. 192 00:10:24,661 --> 00:10:27,084 Da das fine grid schon so viele Punkte hat, 193 00:10:27,084 --> 00:10:31,349 dass da unmöglich wird, das einfach mal kurz zu rechnen. 194 00:10:31,349 --> 00:10:35,065 Und vergleichen wir das mal mit unserer ursprünglichen Simulation. 195 00:10:35,065 --> 00:10:37,292 Wir schauen einfach mal, wie dann die Energie ist, 196 00:10:37,292 --> 00:10:40,556 wenn wir am gleichen Zeitpunkt ankommen, der hier, mit grauen Balken markiert ist. 197 00:10:40,556 --> 00:10:43,570 Und das ist ungefähr jetzt der Fall. 198 00:10:43,570 --> 00:10:48,296 Und wir sehen, dass wir hier dann doch deutlich bessere Energie, 199 00:10:48,296 --> 00:10:50,235 als im ursprünglichen Beispiel haben. 200 00:10:50,235 --> 00:10:53,187 Das heißt, wahrscheinlich könnten wir hier mit einem besseren Gitter 201 00:10:53,187 --> 00:10:54,870 deutlich weiter kommen. 202 00:10:55,389 --> 00:10:57,563 Man kann es in der Praxis auch so machen. 203 00:10:57,563 --> 00:11:02,509 In der Praxis kann man auch, zum Beispiel, adaptive Gitter anwenden, 204 00:11:02,509 --> 00:11:04,901 die in manchen Gebieten feiner sind als in anderen Gebieten, 205 00:11:04,901 --> 00:11:11,460 um da ein bisschen das [??] von der Rechenleistung her. 206 00:11:11,460 --> 00:11:14,285 Wir sehen auch hier, dass wir schnell an eine Barriere kommen, 207 00:11:14,285 --> 00:11:16,046 wo wir es nicht mehr ausrechnen können. 208 00:11:16,046 --> 00:11:18,283 Das wäre noch ein anderes Beispiel. 209 00:11:18,283 --> 00:11:21,087 Was Sie jetzt gesehen haben in diesem Video, ist, 210 00:11:21,087 --> 00:11:23,690 wie wir einen Algorithmus herleiten können, 211 00:11:23,690 --> 00:11:27,069 wo wir genau wissen, wo wir die Näherung einführen. 212 00:11:27,069 --> 00:11:30,440 Das war nämlich die Trotter-Näherung und man kann dabei auch herleiten, 213 00:11:30,440 --> 00:11:31,682 wie groß der Fourier ist. 214 00:11:32,479 --> 00:11:35,865 Und wir können diese Trotter-Näherung, dann auch im späteren Beispiel verwenden, 215 00:11:35,865 --> 00:11:38,661 um zum Beispiel, [??] herzuleiten. 216 00:11:38,661 --> 00:11:42,415 Wir haben dadurch dann auch die Unschärferelation 217 00:11:42,415 --> 00:11:45,006 uns ein bisschen anschauen können, wir haben uns den Tunneleffekt 218 00:11:45,006 --> 00:11:45,885 anschauen können 219 00:11:46,575 --> 00:11:49,548 und wir haben gesehen, wie wir die Konvergenz bewerten können, 220 00:11:49,548 --> 00:11:51,931 nämlich durch Normalisierung und Energieerhaltung 221 00:11:52,846 --> 00:11:55,996 und wir haben am Ende auch gesehen, welchen Effekt die Gittergröße 222 00:11:56,759 --> 00:11:57,980 und Zeitschritte haben. 223 00:11:58,671 --> 00:12:01,899 Hier haben wir ein schönes Beispiel vom Zeitschritt, wenn das 224 00:12:01,899 --> 00:12:05,205 für eine einzige Potenzialbarriere ist. 225 00:12:05,205 --> 00:12:10,407 Wir haben es auch für ein [??] von 0,005 226 00:12:10,407 --> 00:12:15,408 gegen 0,001 gemacht und wir sehen, dass der kleine Zeitschritt 227 00:12:15,408 --> 00:12:18,783 deutlich bessere Energieerhaltung zeigt, 228 00:12:18,783 --> 00:12:20,548 als der große Zeitschritt. 229 00:12:20,608 --> 00:12:23,543 Ich hoffe, ich konnte jetzt hier einen kleinen Einblick 230 00:12:23,543 --> 00:12:28,428 in die Quantendynamik geben und wie man Zeitentwicklungen 231 00:12:28,428 --> 00:12:30,644 berechnen könnte, wie man Algorithmen entwickelt 232 00:12:30,644 --> 00:12:33,693 und wie man auch damit Phänomene besser verstehen kann.